Номер 15, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 15, страница 56.

Условие.

15. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $\sqrt{n^2(n^2+14)-2(n^2-18)}$ является натуральным числом.

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы доказать, что значение выражения является натуральным числом при любом натуральном $n$, необходимо упростить подкоренное выражение и показать, что оно является полным квадратом.

1. Упростим выражение под знаком корня:
$n^2(n^2 + 14) - 2(n^2 - 18)$
Раскроем скобки:
$n^4 + 14n^2 - 2n^2 + 36$
Приведем подобные слагаемые:
$n^4 + 12n^2 + 36$

2. Заметим, что полученное выражение $n^4 + 12n^2 + 36$ можно представить в виде полного квадрата, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a = n^2$ и $b = 6$.
Проверка: $(n^2 + 6)^2 = (n^2)^2 + 2 \cdot n^2 \cdot 6 + 6^2 = n^4 + 12n^2 + 36$.
Следовательно, подкоренное выражение равно $(n^2 + 6)^2$.

3. Подставим полученный результат в исходное выражение:
$\sqrt{n^2(n^2 + 14) - 2(n^2 - 18)} = \sqrt{(n^2 + 6)^2}$

4. Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$, поэтому:
$\sqrt{(n^2 + 6)^2} = |n^2 + 6|$

5. По условию $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$. Тогда $n^2 \ge 1$, а выражение $n^2 + 6$ всегда будет положительным (минимальное значение $1^2 + 6 = 7$). Так как $n^2 + 6 > 0$, то модуль можно опустить:
$|n^2 + 6| = n^2 + 6$

Так как $n$ — натуральное число, то и $n^2$ — натуральное число. Сумма натурального числа $n^2$ и натурального числа 6 также является натуральным числом. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно $n^2+6$, что является натуральным числом при любом натуральном $n$.