Номер 2, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Уравнение х^2=а. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 2, страница 57.

Условие.

2. С помощью стрелки укажите, какими числами (рациональными или иррациональными) являются корни уравнения, если они существуют.

$x^2 = 81$

$x^2 = 10$

$x^2 = -16$

$x^2 = \frac{4}{9}$

рациональные числа

иррациональные числа

корней нет

$x^2 = 5$

$x^2 = \frac{7}{9}$

$x^2 = 0,81$

$x^2 = -0,36$

Решение.

Решение 2.

$x^2 = 81$
Для решения этого уравнения найдем значения $x$, которые при возведении в квадрат дают 81. Это можно сделать, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Получаем $x = \pm\sqrt{81}$. Так как $9 \cdot 9 = 81$, то $\sqrt{81} = 9$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -9$. Числа 9 и -9 являются целыми, а все целые числа — рациональные, так как их можно представить в виде дроби с знаменателем 1 (например, $9 = \frac{9}{1}$).
Ответ: рациональные числа.

$x^2 = 10$
Корнями данного уравнения являются числа $x = \pm\sqrt{10}$. Число 10 не является точным квадратом целого числа (как, например, 9 или 16). Это означает, что $\sqrt{10}$ является бесконечной непериодической десятичной дробью. Такие числа называются иррациональными. Соответственно, корни $\sqrt{10}$ и $-\sqrt{10}$ являются иррациональными числами.
Ответ: иррациональные числа.

$x^2 = -16$
Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$). В данном уравнении требуется найти число, квадрат которого равен отрицательному числу -16. В множестве действительных чисел таких чисел не существует.
Ответ: корней нет.

$x^2 = \frac{4}{9}$
Чтобы найти корни, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$. Используя свойство корня из дроби, получаем $x = \pm\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}$. Так как $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{9} = 3$, корни уравнения равны $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$. Эти числа являются обыкновенными дробями, то есть рациональными числами по определению.
Ответ: рациональные числа.

$x^2 = 5$
Корни уравнения находятся как $x = \pm\sqrt{5}$. Число 5 не является точным квадратом целого числа, поэтому его корень, $\sqrt{5}$, является иррациональным числом. Следовательно, оба корня, $\sqrt{5}$ и $-\sqrt{5}$, иррациональны.
Ответ: иррациональные числа.

$x^2 = \frac{7}{9}$
Извлекая квадратный корень, находим корни: $x = \pm\sqrt{\frac{7}{9}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{3}$. В числителе дроби стоит иррациональное число $\sqrt{7}$, а в знаменателе — рациональное число 3. Частное от деления иррационального числа на ненулевое рациональное всегда является иррациональным числом. Таким образом, корни $x_1 = \frac{\sqrt{7}}{3}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{7}}{3}$ иррациональны.
Ответ: иррациональные числа.

$x^2 = 0,81$
Для решения извлечем квадратный корень: $x = \pm\sqrt{0,81}$. Десятичную дробь 0,81 можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{81}{100}$. Тогда $x = \pm\sqrt{\frac{81}{100}} = \pm\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \pm\frac{9}{10}$. Корни уравнения: $x_1 = 0,9$ и $x_2 = -0,9$. Конечные десятичные дроби всегда являются рациональными числами.
Ответ: рациональные числа.

$x^2 = -0,36$
Как и в случае с уравнением $x^2 = -16$, квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поскольку правая часть уравнения — отрицательное число -0,36, уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: корней нет.