Номер 12, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 12, страница 55.

Условие.

12. Ученикам было предложено найти, при каких значениях $x$ верно равенство

$7.5\sqrt{5x + \sqrt{x+4}} = 60$.

Были получены разные ответы. Выберите верный ответ.

1. 15

2. 0

3. −13

4. 12

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти, при каком значении $x$ верно данное равенство, можно решить иррациональное уравнение или, что проще в случае тестового задания, проверить предложенные варианты ответов методом подстановки.

Исходное уравнение: $7,5\sqrt{5x + \sqrt{x+4}} = 60$.

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными.
Из $\sqrt{x+4}$ следует, что $x+4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

Теперь упростим уравнение. Разделим обе части на 7,5:
$\sqrt{5x + \sqrt{x+4}} = \frac{60}{7,5}$
$\sqrt{5x + \sqrt{x+4}} = 8$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$5x + \sqrt{x+4} = 8^2$
$5x + \sqrt{x+4} = 64$

Выразим оставшийся корень:
$\sqrt{x+4} = 64 - 5x$

Поскольку значение арифметического квадратного корня (левая часть) не может быть отрицательным, правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам еще одно ограничение для ОДЗ:
$64 - 5x \ge 0$
$64 \ge 5x$
$x \le \frac{64}{5}$
$x \le 12,8$

Объединив оба условия, получаем, что корень уравнения должен находиться в промежутке: $-4 \le x \le 12,8$.

Теперь проверим предложенные варианты ответов.

1. 15
Это значение не входит в ОДЗ, так как $15 > 12,8$. Следовательно, $x=15$ не может быть корнем уравнения.

2. 0
Значение $x=0$ входит в ОДЗ. Подставим его в исходное равенство:
$7,5\sqrt{5(0) + \sqrt{0+4}} = 7,5\sqrt{0 + \sqrt{4}} = 7,5\sqrt{2}$.
$7,5\sqrt{2} \ne 60$. Значит, $x=0$ не является решением.

3. –13
Это значение не входит в ОДЗ, так как $-13 < -4$. При $x=-13$ выражение под корнем $\sqrt{x+4}$ становится $\sqrt{-9}$, что не определено в области действительных чисел.

4. 12
Значение $x=12$ входит в ОДЗ, так как $-4 \le 12 \le 12,8$. Проведем проверку, подставив его в исходное уравнение:
$7,5\sqrt{5(12) + \sqrt{12+4}} = 7,5\sqrt{60 + \sqrt{16}} = 7,5\sqrt{60 + 4} = 7,5\sqrt{64} = 7,5 \times 8 = 60$.
Равенство $60=60$ является верным. Таким образом, $x=12$ — это искомый корень.

Ответ: 12