Номер 14, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 14, страница 56.

Условие.

14. При каких значениях a имеет смысл выражение:

а) $\sqrt{(-a-7)^2}$;

б) $\sqrt{-(a+4)^2}$;

в) $\sqrt{a^2+9}$;

г) $\sqrt{(a-11)^2}$;

д) $\sqrt{a^2+16a+65}$;

е) $\sqrt{-a^2+2a-1?}$

Решение.

Решение 2.

а) Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю. В данном случае подкоренное выражение равно $(-a-7)^2$. Составим неравенство: $(-a-7)^2 \ge 0$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как $(-a-7)$ является действительным числом при любом значении $a$, его квадрат $(-a-7)^2$ всегда будет больше или равен нулю. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

б) Потребуем, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $-(a+4)^2 \ge 0$. Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $(a+4)^2 \le 0$. Квадрат любого действительного числа $(a+4)^2$ всегда больше или равен нулю. Единственное значение, при котором выполняется неравенство $(a+4)^2 \le 0$, это когда $(a+4)^2 = 0$. Это равенство достигается, только если $a+4=0$, то есть $a=-4$.
Ответ: $a=-4$.

в) Выражение под корнем $a^2+9$ должно быть неотрицательным: $a^2+9 \ge 0$. Для любого действительного числа $a$, его квадрат $a^2$ является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $a^2+9$ будет не меньше, чем $0+9=9$. Так как $a^2+9 \ge 9$, а $9 > 0$, то неравенство $a^2+9 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

г) Условие существования корня: подкоренное выражение $(a-11)^2$ должно быть неотрицательным. $(a-11)^2 \ge 0$. Это неравенство, как и в пункте а), верно для любого действительного числа, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

д) Требуется, чтобы $a^2+16a+65 \ge 0$. Рассмотрим квадратичную функцию $y=a^2+16a+65$. Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $a^2$ положителен). Найдем ее дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 65 = 256 - 260 = -4$. Поскольку дискриминант отрицательный, у параболы нет точек пересечения с осью абсцисс. Так как ветви направлены вверх, вся парабола находится выше оси абсцисс, то есть значение выражения $a^2+16a+65$ всегда положительно. Альтернативный способ — выделить полный квадрат: $a^2+16a+65 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 8 + 64 - 64 + 65 = (a+8)^2 + 1$. Поскольку $(a+8)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a+8)^2 + 1 \ge 1 > 0$. Таким образом, подкоренное выражение всегда положительно, и выражение имеет смысл при любых $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; +\infty)$.

е) Условие существования выражения: $-a^2+2a-1 \ge 0$. Вынесем знак минус за скобки: $-(a^2-2a+1) \ge 0$. В скобках находится формула квадрата разности: $a^2-2a+1 = (a-1)^2$. Получаем неравенство: $-(a-1)^2 \ge 0$. Умножим на -1, поменяв знак неравенства: $(a-1)^2 \le 0$. Квадрат числа $(a-1)^2$ не может быть отрицательным. Единственная возможность, при которой выполняется это неравенство, это равенство нулю: $(a-1)^2 = 0$. Это верно только при $a-1=0$, то есть $a=1$.
Ответ: $a=1$.