Номер 9, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

10. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Часть 1 - номер 9, страница 54.

Условие.

9. Решите уравнение:

а) $\sqrt{x+16}=4;$

б) $\sqrt{1-x}=3;$

в) $\sqrt{x-11}=0;$

г) $\sqrt{14-x}=25.$

Решение.

Решение 2.

а) $\sqrt{x+16}=4$

Для решения этого иррационального уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x+16 \ge 0$

$x \ge -16$

Так как правая часть уравнения, $4$, является неотрицательным числом, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня.

$(\sqrt{x+16})^2 = 4^2$

$x+16 = 16$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$x = 16 - 16$

$x = 0$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $0 \ge -16$, корень подходит. Выполним проверку, подставив значение $x=0$ в исходное уравнение:

$\sqrt{0+16} = \sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x=0$.

б) $\sqrt{1-x}=3$

Определим ОДЗ: выражение под корнем не может быть отрицательным.

$1-x \ge 0 \implies x \le 1$

Правая часть уравнения ($3$) положительна. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{1-x})^2 = 3^2$

$1-x = 9$

Решаем полученное линейное уравнение:

$-x = 9 - 1$

$-x = 8$

$x = -8$

Проверка: корень $x=-8$ входит в ОДЗ ($-8 \le 1$). Подставим в исходное уравнение:

$\sqrt{1 - (-8)} = \sqrt{1+8} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верно.

Ответ: $x=-8$.

в) $\sqrt{x-11}=0$

ОДЗ для данного уравнения:

$x-11 \ge 0 \implies x \ge 11$

Арифметический квадратный корень равен нулю только в том случае, если подкоренное выражение равно нулю. Поэтому:

$x-11 = 0$

$x = 11$

Проверка: значение $x=11$ удовлетворяет ОДЗ ($11 \ge 11$). Подстановка в исходное уравнение:

$\sqrt{11-11} = \sqrt{0} = 0$.

$0 = 0$. Равенство верно.

Ответ: $x=11$.

г) $\sqrt{14-x}=25$

Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$14-x \ge 0 \implies x \le 14$

Так как правая часть уравнения ($25$) положительна, возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{14-x})^2 = 25^2$

$14-x = 625$

Решаем полученное уравнение:

$-x = 625 - 14$

$-x = 611$

$x = -611$

Проверка: корень $x=-611$ удовлетворяет ОДЗ ($-611 \le 14$). Выполним подстановку в исходное уравнение:

$\sqrt{14 - (-611)} = \sqrt{14+611} = \sqrt{625} = 25$.

$25 = 25$. Равенство верно.

Ответ: $x=-611$.