Номер 2, страница 33, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

28. Графический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 2, страница 33.

Условие.

2. Для графического решения одной из указанных систем уравнений построены графики, изображённые на рисунке. Выберите эту систему.

а) $$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x - y = 2 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ y - x = 2 \end{cases}$$

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, какая из предложенных систем уравнений соответствует графикам на рисунке, необходимо составить уравнения для параболы и прямой, а затем сравнить их с предложенными вариантами.

1. Определение уравнения параболы.
На графике изображена парабола с вершиной в начале координат (0, 0). График проходит через точки (1, 1), (-1, 1), (2, 4) и (-2, 4). Это является графиком стандартной квадратичной функции $y = x^2$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить вид, как в предложенных системах:
$x^2 - y = 0$.
Это уравнение присутствует во всех трех вариантах.

2. Определение уравнения прямой.
График прямой проходит через две точки, которые легко определить по координатной сетке: (0, 2) и (2, 0).
Уравнение прямой имеет общий вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (наклон), а $b$ — ордината точки пересечения с осью $y$.
Из точки (0, 2) следует, что $b = 2$.
Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим координаты второй точки (2, 0) и найденное значение $b$ в уравнение прямой:
$0 = k \cdot 2 + 2$
$2k = -2$
$k = -1$
Таким образом, уравнение прямой: $y = -1 \cdot x + 2$, или $y = -x + 2$.
Преобразуем это уравнение, перенеся $x$ в левую часть, чтобы получить вид, схожий с вариантами в задании:
$x + y = 2$.

3. Выбор соответствующей системы уравнений.
Сопоставив найденные уравнения, получаем систему, которая описывает данные графики: $ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x + y = 2 \end{cases} $.
Теперь сравним эту систему с предложенными вариантами:

а) $\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x - y = 2 \end{cases}$. Второе уравнение этой системы ($y = x - 2$) не соответствует графику прямой на рисунке.

б) $\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x + y = 2 \end{cases}$. Оба уравнения этой системы в точности соответствуют графикам параболы и прямой на рисунке.

в) $\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ y - x = 2 \end{cases}$. Второе уравнение этой системы ($y = x + 2$) не соответствует графику прямой на рисунке.

Следовательно, система уравнений из пункта б) является верной.

Ответ: б)