Номер 7, страница 32, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

27. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 7, страница 32.

Условие.

7. Докажите, что система уравнений $ \begin{cases} x - 2y = 4, \\ 6y = 3x + 12 \end{cases} $ не имеет решений:

а) используя алгебраические преобразования;

б) с помощью графиков.

x

y

x

y

y

x

0

1

1

Решение.

Решение 2.

a) используя алгебраические преобразования;

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 4 \\ 6y = 3x + 12 \end{cases} $

Для доказательства того, что система не имеет решений, преобразуем каждое уравнение к виду линейной функции $y = kx + m$, где $k$ – угловой коэффициент, а $m$ – свободный член (координата пересечения с осью y).

1. Преобразуем первое уравнение $x - 2y = 4$:

$-2y = -x + 4$

$y = \frac{-x + 4}{-2}$

$y = \frac{1}{2}x - 2$

Здесь угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$, свободный член $m_1 = -2$.

2. Преобразуем второе уравнение $6y = 3x + 12$:

$y = \frac{3x + 12}{6}$

$y = \frac{3}{6}x + \frac{12}{6}$

$y = \frac{1}{2}x + 2$

Здесь угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$, свободный член $m_2 = 2$.

Мы видим, что угловые коэффициенты обоих уравнений равны ($k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$), а свободные члены различны ($m_1 \neq m_2$). Это означает, что графики данных функций являются параллельными прямыми, которые никогда не пересекаются. Поскольку решение системы линейных уравнений — это точка пересечения их графиков, а в данном случае таких точек нет, система не имеет решений.

Ответ: доказано, что система не имеет решений.

б) с помощью графиков.

Для доказательства построим графики уравнений системы на координатной плоскости. Каждое уравнение является линейным, и его график — это прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Для первого уравнения $y = \frac{1}{2}x - 2$ составим таблицу значений:

x	0	4
y	-2	0

Прямая проходит через точки (0, -2) и (4, 0).

2. Для второго уравнения $y = \frac{1}{2}x + 2$ составим таблицу значений:

x	-2	0
y	1	2

Прямая проходит через точки (-2, 1) и (0, 2).

Построим эти две прямые на координатной плоскости. Мы увидим, что прямые параллельны друг другу и не имеют ни одной общей точки. Так как графики уравнений не пересекаются, система не имеет решений.

Ответ: доказано, что система не имеет решений.