Номер 3, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

28. Графический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 3, страница 34.

Условие.

3. Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases}x + y = 1, \\2x - y = -4;\end{cases}$

a)

x
y

x
y

б) $\begin{cases}x - 2y = 6, \\3x + y = 1.\end{cases}$

б)

x
y

x
y

a) б) Ответ: a) .................. б) ..................

Решение.

Решение 2.

a)

Для графического решения системы уравнений $$ \begin{cases} x + y = 1 \\ 2x - y = -4 \end{cases} $$ необходимо построить графики каждого уравнения на одной координатной плоскости. Графиком каждого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

1. Для первого уравнения $x + y = 1$ выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$.
Найдем координаты двух точек, подставляя произвольные значения $x$:

• Если $x = 0$, то $y = 1 - 0 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.

Заполним таблицу для первого уравнения:

$x$	0	1
$y$	1	0

2. Для второго уравнения $2x - y = -4$ выразим $y$ через $x$: $y = 2x + 4$.
Найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 2(0) + 4 = 4$. Получаем точку $(0, 4)$.
• Если $x = -2$, то $y = 2(-2) + 4 = 0$. Получаем точку $(-2, 0)$.

Заполним таблицу для второго уравнения:

$x$	0	-2
$y$	4	0

3. Построим эти две прямые на координатной плоскости. Первая прямая проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Вторая прямая проходит через точки $(0, 4)$ и $(-2, 0)$.
Прямые пересекаются в точке, координаты которой и являются решением системы. По графику определяем, что точка пересечения имеет координаты $(-1, 2)$.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему: $$ \begin{cases} -1 + 2 = 1 \\ 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4 \end{cases} $$ Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.
Ответ: $(-1, 2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 6 \\ 3x + y = 1 \end{cases} $$ Аналогично предыдущему пункту, построим графики каждого уравнения.

1. Для первого уравнения $x - 2y = 6$ выразим $y$ через $x$: $2y = x - 6$, следовательно, $y = \frac{1}{2}x - 3$.
Найдем координаты двух точек (выбираем четные значения $x$ для получения целых значений $y$):

• Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{2}(0) - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{1}{2}(2) - 3 = 1 - 3 = -2$. Получаем точку $(2, -2)$.

Заполним таблицу для первого уравнения:

$x$	0	2
$y$	-3	-2

2. Для второго уравнения $3x + y = 1$ выразим $y$ через $x$: $y = 1 - 3x$.
Найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 1 - 3(0) = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1 - 3(1) = -2$. Получаем точку $(1, -2)$.

Заполним таблицу для второго уравнения:

$x$	0	1
$y$	1	-2

3. Построим прямые на координатной плоскости: первая через точки $(0, -3)$ и $(2, -2)$, вторая через точки $(0, 1)$ и $(1, -2)$.
При построении видно, что точка пересечения не имеет целых координат. Чтобы найти точное решение, решим систему аналитически. Из второго уравнения $y = 1 - 3x$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x - 2(1 - 3x) = 6 $$ $$ x - 2 + 6x = 6 $$ $$ 7x = 8 $$ $$ x = \frac{8}{7} $$ Теперь найдем $y$: $$ y = 1 - 3 \left(\frac{8}{7}\right) = \frac{7}{7} - \frac{24}{7} = -\frac{17}{7} $$ Таким образом, точное решение системы — это точка с координатами $(\frac{8}{7}, -\frac{17}{7})$. Приблизительные значения: $x \approx 1.14$, $y \approx -2.43$, что соответствует точке, найденной на графике.
Ответ: $(\frac{8}{7}, -\frac{17}{7})$.