Номер 7, страница 36, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

28. Графический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 7, страница 36.

Условие.

7. Изобразите схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений, и если имеет, то сколько:

a) $\begin{cases} xy=1 \\ 2x+y=0 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2-y=0 \\ xy=-2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2-y=0 \\ x+3y=3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{3}{x}+y=0 \\ x-y=1 \end{cases}$

Ответ: a) ................. б) ................. в) ................. г) .................

Решение.

Решение 2.

а) Для системы уравнений $ \begin{cases} xy = 1 \\ 2x + y = 0 \end{cases} $:
Первое уравнение $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Второе уравнение $y = -2x$ — это прямая, проходящая через начало координат с отрицательным угловым коэффициентом, расположенная во II и IV координатных четвертях.
Схематически изобразив графики, мы видим, что они не пересекаются, так как находятся в разных четвертях.
Для проверки решим систему аналитически, подставив $y = -2x$ в первое уравнение:
$x(-2x) = 1$
$-2x^2 = 1$
$x^2 = -\frac{1}{2}$
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: 0 решений.

б) Для системы уравнений $ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ xy = -2 \end{cases} $:
Первое уравнение $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат. График расположен в I и II четвертях.
Второе уравнение $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
Схематически изобразив графики, мы видим, что ветвь параболы во II четверти пересекается с ветвью гиперболы во II четверти. В IV четверти у параболы нет точек (кроме вершины, но $x \ne 0$), а у гиперболы есть, поэтому там пересечений нет. Значит, ожидается одно решение.
Решим систему аналитически. Подставим $y = x^2$ во второе уравнение:
$x(x^2) = -2$
$x^3 = -2$
$x = \sqrt[3]{-2}$
Это уравнение имеет один действительный корень. Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

в) Для системы уравнений $ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x + 3y = 3 \end{cases} $:
Первое уравнение $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями вверх.
Второе уравнение $x + 3y = 3$ или $y = -\frac{1}{3}x + 1$ — это прямая, пересекающая ось OY в точке (0, 1) и ось OX в точке (3, 0).
Схематически изобразив графики, мы видим, что прямая проходит "внутри" параболы (ее точка пересечения с осью OY (0, 1) находится выше вершины параболы (0, 0)), поэтому она пересекает параболу в двух точках.
Решим систему аналитически. Подставим $y = x^2$ во второе уравнение:
$x + 3(x^2) = 3$
$3x^2 + x - 3 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-3) = 1 + 36 = 37$
Так как $\Delta > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

г) Для системы уравнений $ \begin{cases} \frac{3}{x} + y = 0 \\ x - y = 1 \end{cases} $:
Первое уравнение $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV четвертях.
Второе уравнение $y = x - 1$ — это прямая, проходящая через точки (0, -1) и (1, 0).
Схематически изобразив графики, можно предположить наличие или отсутствие пересечений. Для точного ответа решим систему аналитически. Подставим $y = x - 1$ в первое уравнение:
$\frac{3}{x} + (x - 1) = 0$
Умножим обе части на $x$ (при условии $x \neq 0$):
$3 + x(x - 1) = 0$
$3 + x^2 - x = 0$
$x^2 - x + 3 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(3) = 1 - 12 = -11$
Так как $\Delta < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: 0 решений.