Номер 4, страница 34, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

28. Графический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 4, страница 34.

Условие.

4. На рисунке изображён график уравнения $x^2 - y - 8 = 0$. Постройте на этом же рисунке график уравнения $2x + y = -5$ и найдите множество решений системы уравнений

$ \begin{cases} x^2 - y - 8 = 0, \\ 2x + y = -5. \end{cases} $

$x$
$y$

Ответ:

Решение.

Решение 2.

Задача состоит из двух частей: построение графика линейного уравнения и нахождение точек пересечения этого графика с уже построенным графиком параболы, что даст решение системы уравнений.

Постройте на этом же рисунке график уравнения $2x + y = -5$

Сначала преобразуем данное линейное уравнение к виду функции $y(x)$, чтобы было удобнее строить график:

$2x + y = -5$

$y = -2x - 5$

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Заполним таблицу, найдя значения $y$ для двух произвольных значений $x$.

$x$	0	-3
$y$	-5	1

1. Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 - 5 = -5$. Получаем точку $(0, -5)$.

2. Если $x = -3$, то $y = -2 \cdot (-3) - 5 = 6 - 5 = 1$. Получаем точку $(-3, 1)$.

Отметив эти две точки на координатной плоскости и соединив их прямой линией, мы получим график уравнения $2x + y = -5$.

Найдите множество решений системы уравнений

Множество решений системы уравнений — это координаты точек пересечения графиков уравнений, входящих в систему. Мы можем найти их приближенно по графику или точно, решив систему алгебраически.

Система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y - 8 = 0 \\ 2x + y = -5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2 - 8$.

Из второго уравнения также выразим $y$: $y = -2x - 5$.

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:

$x^2 - 8 = -2x - 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 8 + 5 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-3$. Корнями являются:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$) для каждого значения $x$, используя любое из уравнений системы, например, $y = -2x - 5$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = -2(1) - 5 = -2 - 5 = -7$

Первая точка пересечения (первое решение системы) — $(1, -7)$.

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = -2(-3) - 5 = 6 - 5 = 1$

Вторая точка пересечения (второе решение системы) — $(-3, 1)$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках, и система имеет два решения.

Ответ: $(1, -7), (-3, 1)$.