Номер 10, страница 38, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

28. Графический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 10, страница 38.

Условие.

10. Выясните с помощью графиков, сколько решений имеет система уравнений

$\begin{cases} \frac{5}{x} - y = 0, \\ x^2 - y = 0; \end{cases}$

и найдите эти решения.

x

y

x

y

Ответ:

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы решить систему уравнений с помощью графиков, необходимо построить в одной системе координат графики для каждого уравнения и найти точки их пересечения. Координаты этих точек и будут являться решениями системы.

Преобразуем уравнения системы к виду функций:

$ \begin{cases} \frac{5}{x} - y = 0 \\ x^2 - y = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{5}{x} \\ y = x^2 \end{cases} $

Теперь построим графики этих двух функций.

1. График функции $y = \frac{5}{x}$

Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Область определения: $x \neq 0$. Составим таблицу значений:

x	-5	-2.5	-1	1	2.5	5
y	-1	-2	-5	5	2	1

2. График функции $y = x^2$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Составим таблицу значений:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

3. Построение графиков и нахождение решений

Построим оба графика на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков являются решениями системы.

Из графика видно, что графики функций пересекаются в одной точке, расположенной в первой координатной четверти. Следовательно, система имеет одно решение.

Чтобы найти точное значение, приравняем правые части уравнений:

$\frac{5}{x} = x^2$

Умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$5 = x^3$

$x = \sqrt[3]{5}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = x^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$

Приблизительные значения для отметки на графике: $x = \sqrt[3]{5} \approx 1.71$, $y = \sqrt[3]{25} \approx 2.92$.

Таким образом, графики пересекаются в одной точке с координатами $(\sqrt[3]{5}; \sqrt[3]{25})$.

Ответ: Система имеет одно решение $(\sqrt[3]{5}; \sqrt[3]{25})$.