Номер 7, страница 42, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 7, страница 42.

Условие.

7. Решите систему уравнений способом подстановки и дайте графическую иллюстрацию ${ \begin{cases} xy = -8, \\ x + 2y = -2. \end{cases} }$

x
y

x
y

$y\uparrow$

$0$

$1$

$1$

$\rightarrow x$

Решение.

Решение 2.

Решим данную систему уравнений методом подстановки.

Исходная система:

$$ \begin{cases} xy = -8 \\ x + 2y = -2 \end{cases} $$

1. Выразим одну переменную через другую.

Из второго уравнения $x + 2y = -2$ выразим переменную $x$:

$$ x = -2 - 2y $$

2. Подставим полученное выражение в первое уравнение.

Подставим выражение для $x$ в уравнение $xy = -8$:

$$ (-2 - 2y)y = -8 $$

3. Решим полученное уравнение относительно $y$.

Раскроем скобки:

$$ -2y - 2y^2 = -8 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$$ 2y^2 + 2y - 8 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$$ y^2 + y - 4 = 0 $$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней: $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1$, $b=1$, $c=-4$.

Сначала вычислим дискриминант $D$:

$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня:

$$ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} $$

$$ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} $$

4. Найдем соответствующие значения $x$.

Теперь подставим найденные значения $y$ в выражение $x = -2 - 2y$.

Для $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$:

$$ x_1 = -2 - 2\left(\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\right) = -2 - (-1 + \sqrt{17}) = -2 + 1 - \sqrt{17} = -1 - \sqrt{17} $$

Для $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$:

$$ x_2 = -2 - 2\left(\frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\right) = -2 - (-1 - \sqrt{17}) = -2 + 1 + \sqrt{17} = -1 + \sqrt{17} $$

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $\left(-1 - \sqrt{17}, \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}\right)$, $\left(-1 + \sqrt{17}, \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\right)$.

---

Графическая иллюстрация

Для графической иллюстрации построим графики двух уравнений системы:

1. $xy = -8 \implies y = -\frac{8}{x}$ (гипербола)
2. $x + 2y = -2 \implies 2y = -x - 2 \implies y = -\frac{1}{2}x - 1$ (прямая)

Решениями системы являются точки пересечения этих двух графиков.

1. Таблица значений для гиперболы $y = -8/x$:

x	-8	-4	-2	-1	1	2	4	8
y	1	2	4	8	-8	-4	-2	-1

2. Таблица значений для прямой $y = -0.5x - 1$:

x	0	-2
y	-1	0

Построим графики на координатной плоскости. График $y = -8/x$ — это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. График $y = -0.5x - 1$ — это прямая линия.

На графике синим цветом показана гипербола, красным — прямая. Зелеными точками отмечены их точки пересечения, координаты которых и являются решением системы.

Приблизительные значения координат точек пересечения: $(-5.12, 1.56)$ и $(3.12, -2.56)$.