Номер 12, страница 44, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

29. Алгебраический способ решения систем уравнений. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 12, страница 44.

Условие.

12. Закончите решение системы уравнений $\begin{cases} \frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 23, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4. \end{cases}$

Решение. Введём новые переменные $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$. После замены переменных уравнения становятся линейными: $\begin{cases} 2u - 3v = 23, \\ u + v = 4. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Продолжим решение с того момента, где оно было остановлено. Мы получили систему линейных уравнений относительно новых переменных u и v:

$ \begin{cases} 2u - 3v = 23, \\ u + v = 4. \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную u через v:

$u = 4 - v$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы, чтобы найти v:

$2(4 - v) - 3v = 23$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$8 - 2v - 3v = 23$

$8 - 5v = 23$

$-5v = 23 - 8$

$-5v = 15$

$v = \frac{15}{-5} = -3$

Теперь, зная значение v, найдём соответствующее значение u:

$u = 4 - v = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$

Итак, мы нашли решение системы для новых переменных: $u = 7$ и $v = -3$.

Выполним обратную замену, чтобы найти исходные переменные x и y, используя определения $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$.

Для x получаем:

$7 = \frac{1}{x}$

$x = \frac{1}{7}$

Для y получаем:

$-3 = \frac{1}{y}$

$y = -\frac{1}{3}$

Проверим найденное решение, подставив его в исходную систему:

$\frac{2}{1/7} - \frac{3}{-1/3} = 2 \cdot 7 - 3 \cdot (-3) = 14 + 9 = 23$

$\frac{1}{1/7} + \frac{1}{-1/3} = 7 - 3 = 4$

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x = \frac{1}{7}$, $y = -\frac{1}{3}$.