Номер 4, страница 47, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

30. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 4, страница 47.

Условие.

4. Длина забора, огораживающего прямоугольный участок земли, равна 110 м. Найдите длину и ширину участка, если известно, что его площадь составляет 600 $м^2$.

Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение. Пусть длина участка равна $x$ м, а ширина — $y$ м. Длина

забора равна ..................., что по условию задачи составляет 110 м. Следовательно,

................. (1)

Площадь участка равна ................... $м^2$, или 600 $м^2$, значит,

................. (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Решение.

Решение 2.

Пусть длина участка равна $x$ м, а ширина — $y$ м. Длина забора — это периметр прямоугольника, который вычисляется по формуле $P = 2(x+y)$. По условию задачи периметр равен 110 м. Следовательно, получаем первое уравнение:

$2(x+y) = 110$ (1)

Площадь участка вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. По условию, площадь составляет 600 м². Отсюда получаем второе уравнение:

$xy = 600$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} 2(x + y) = 110 \\ xy = 600 \end{cases} $

Сначала упростим первое уравнение, разделив обе его части на 2:

$ \begin{cases} x + y = 55 \\ xy = 600 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 55 - x$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$x(55 - x) = 600$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:

$55x - x^2 = 600$

$x^2 - 55x + 600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно применить теорему Виета: сумма корней равна 55, а их произведение равно 600. Методом подбора находим корни: $x_1 = 40$ и $x_2 = 15$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 3025 - 2400 = 625$

$\sqrt{D} = 25$

$x_1 = \frac{55 + 25}{2} = \frac{80}{2} = 40$

$x_2 = \frac{55 - 25}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Теперь найдем соответствующие значения для второй стороны ($y$):

• Если $x=40$ м, то $y = 55 - 40 = 15$ м.
• Если $x=15$ м, то $y = 55 - 15 = 40$ м.

В обоих случаях мы получаем, что стороны участка равны 40 м и 15 м.

Ответ: длина участка 40 м, а ширина 15 м (или наоборот).