Номер 8, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

30. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 8, страница 49.

Условие.

8. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 12 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе?

Решение. Пуcть $x\%$ — содержание кислоты в первом растворе, $y\%$ — содержание кислоты во втором растворе. Тогда в первом растворе содержится $(0,01x \cdot 10)$ кг кислоты, во втором растворе — _______ кг кислоты. По условию, при первом смешивании

получается новый раствор массой _______ кг, в котором содержится _______ кг кислоты. Следовательно, (1)

Если смешать равные массы, например $a$ кг этих растворов, то содержание кислоты в новом растворе будет, с одной стороны,

_______ кг, а с другой — _______ кг. Следовательно, (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Решение.

Решение 2.

Пусть $x\%$ — процентное содержание кислоты в первом растворе, а $y\%$ — процентное содержание кислоты во втором растворе. Тогда массу кислоты в каждом из первоначальных растворов можно выразить следующим образом:

• Масса кислоты в первом растворе: $m_1 = 10 \cdot \frac{x}{100} = 0,1x$ кг.
• Масса кислоты во втором растворе: $m_2 = 12 \cdot \frac{y}{100} = 0,12y$ кг.

1. Составление первого уравнения по условию первого смешивания.

При смешивании первого и второго растворов целиком, общая масса нового раствора составит $10 + 12 = 22$ кг. Общая масса кислоты в этом новом растворе будет суммой масс кислоты из двух первоначальных растворов: $M_{кислоты} = m_1 + m_2 = 0,1x + 0,12y$ кг. По условию, концентрация кислоты в полученном растворе составляет $36\%$. Это означает, что масса кислоты также равна $22 \cdot \frac{36}{100} = 22 \cdot 0,36 = 7,92$ кг. Приравняем два выражения для массы кислоты и получим первое уравнение:

$0,1x + 0,12y = 7,92$ (1)

2. Составление второго уравнения по условию второго смешивания.

Если смешать равные массы этих растворов, например, по $a$ кг каждого, то общая масса нового раствора будет $a + a = 2a$ кг. Масса кислоты из первого раствора в этой смеси составит $a \cdot \frac{x}{100} = 0,01ax$ кг, а из второго — $a \cdot \frac{y}{100} = 0,01ay$ кг. Общая масса кислоты в этой смеси: $M_{кислоты} = 0,01ax + 0,01ay = 0,01a(x+y)$ кг. По условию, концентрация кислоты в этом случае составляет $39\%$, значит, масса кислоты также равна $2a \cdot \frac{39}{100} = 0,78a$ кг. Приравняем выражения для массы кислоты:

$0,01a(x+y) = 0,78a$

Так как масса $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $0,01a$:

$x + y = 78$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 0,1x + 0,12y = 7,92 \\ x + y = 78 \end{cases}$

Для удобства умножим первое уравнение на 100:

$\begin{cases} 10x + 12y = 792 \\ x + y = 78 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 78 - y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$10(78 - y) + 12y = 792$

$780 - 10y + 12y = 792$

$2y = 792 - 780$

$2y = 12$

$y = 6$

Теперь найдем $x$:

$x = 78 - y = 78 - 6 = 72$

Таким образом, концентрация кислоты в первом растворе — $72\%$, во втором — $6\%$.

4. Нахождение массы кислоты в каждом растворе.

Теперь, зная концентрации, найдем массу чистой кислоты в каждом из первоначальных сосудов.

• В первом растворе (массой 10 кг): $10 \text{ кг} \cdot \frac{72}{100} = 7,2$ кг кислоты.
• Во втором растворе (массой 12 кг): $12 \text{ кг} \cdot \frac{6}{100} = 0,72$ кг кислоты.

Ответ: в первом растворе содержится 7,2 кг кислоты, во втором растворе — 0,72 кг кислоты.