Номер 4, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 4, страница 51.

Условие.

4. Пусть $a$ — произвольное число. Сравните с нулём значение выражения:

а) $-a^2 - 1 \square 0$;

б) $a^2 + 116 \square 0$;

в) $(a - 4)^2 + 11 \square 0$;

г) $-(a - 2)^2 + (-1)^{11} \square 0$.

Решение.

Решение 2.

а) Для любого произвольного числа $a$ его квадрат $a^2$ является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$. Умножая это неравенство на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный: $-a^2 \le 0$. Таким образом, $-a^2$ — это неположительное число. Если к неположительному числу прибавить отрицательное число (в данном случае вычесть 1), результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения достигается при $a=0$ и равно $-(0)^2 - 1 = -1$. Поскольку $-1 < 0$, то и значение всего выражения всегда меньше нуля.

Ответ: $-a^2 - 1 < 0$

б) Квадрат любого числа $a$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 116, то результат всегда будет положительным. Наименьшее значение выражения достигается при $a=0$ и равно $0^2 + 116 = 116$. Так как $116 > 0$, значение выражения всегда больше нуля.

Ответ: $a^2 + 116 > 0$

в) Выражение в скобках $(a-4)$ может быть любым числом. Однако его квадрат $(a-4)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(a-4)^2 \ge 0$. Прибавляя к неотрицательному числу положительное число 11, мы всегда получаем положительный результат. Наименьшее значение выражения равно $0 + 11 = 11$ (при $a=4$). Так как $11 > 0$, значение выражения всегда больше нуля.

Ответ: $(a-4)^2 + 11 > 0$

г) Сначала вычислим значение $(-1)^{11}$. Так как 11 — нечетное число, то $(-1)^{11} = -1$. Выражение принимает вид: $-(a-2)^2 - 1$. Как мы уже выяснили в предыдущих пунктах, квадрат числа $(a-2)^2$ всегда неотрицателен: $(a-2)^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $-(a-2)^2$ всегда неположительно: $-(a-2)^2 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть 1, результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения достигается при $a=2$ и равно $-(2-2)^2 - 1 = 0 - 1 = -1$. Поскольку $-1 < 0$, значение выражения всегда меньше нуля.

Ответ: $-(a-2)^2 + (-1)^{11} < 0$