Номер 10, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 10, страница 53.

Условие.

10. Укажите какое-либо значение $p$, при котором неравенству $3,9 < x < p$:

а) удовлетворяет единственное целое число:

б) удовлетворяет только два целых числа:

в) не удовлетворяет ни одно целое число:

Решение.

Решение 2.

а) удовлетворяет единственное целое число:

Нам дано строгое неравенство $3,9 < x < p$. Мы ищем такие значения $p$, при которых это неравенство имеет определенное количество целых решений для $x$. Наименьшее целое число, которое больше $3,9$, это $4$. Чтобы в интервале $(3,9; p)$ было ровно одно целое число, этим числом должно быть $x=4$. Это означает, что число $4$ должно входить в этот интервал, а следующее за ним целое число, $5$, уже не должно. Из условия $4 < p$ следует, что $4$ входит в интервал. Из условия, что $5$ не входит в интервал, следует, что $p$ не может быть больше $5$, то есть $p \le 5$. Объединяя эти два условия, получаем, что $p$ должно находиться в полуинтервале $4 < p \le 5$. В качестве примера можно выбрать любое число из этого промежутка, например, $p = 4,5$. При этом значении неравенство примет вид $3,9 < x < 4,5$, и единственным целым решением будет $x=4$.

Ответ: $p=4,5$

б) удовлетворяет только два целых числа:

Чтобы неравенство $3,9 < x < p$ имело ровно два целых решения, этими решениями должны быть два наименьших целых числа, больших $3,9$. Это числа $4$ и $5$. Следовательно, оба числа, $4$ и $5$, должны принадлежать интервалу $(3,9; p)$, а следующее целое число, $6$, не должно. Условие, что $5$ принадлежит интервалу, означает, что $5 < p$. Условие, что $6$ не принадлежит интервалу, означает, что $p \le 6$. Таким образом, $p$ должно удовлетворять двойному неравенству $5 < p \le 6$. Мы можем выбрать любое значение $p$ из этого промежутка. Возьмем, к примеру, $p=5,8$. Тогда неравенство $3,9 < x < 5,8$ имеет два целых решения: $x=4$ и $x=5$.

Ответ: $p=5,8$

в) не удовлетворяет ни одно целое число:

Чтобы в интервале $(3,9; p)$ не было ни одного целого числа, даже наименьшее возможное целое решение, $x=4$, не должно в него входить. Это значит, что верхняя граница интервала $p$ должна быть меньше или равна $4$, то есть $p \le 4$. В то же время, по определению интервала, должно выполняться $3,9 < p$. Совмещая оба условия, получаем, что $p$ должно находиться в промежутке $3,9 < p \le 4$. В качестве примера можно взять граничное значение $p=4$. При этом неравенство $3,9 < x < 4$ не будет иметь ни одного целого решения, так как между $3,9$ и $4$ нет целых чисел.

Ответ: $p=4$