Номер 15, страница 55, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 15, страница 55.

Условие.

15. Моторная лодка в первый день прошла 40 км по течению реки и вернулась обратно, а во второй день она прошла 80 км по озеру. В какой из дней было затрачено больше времени?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сравним время, затраченное лодкой в каждый из дней. Обозначим собственную скорость лодки (скорость в стоячей воде, как в озере) как $v_л$, а скорость течения реки как $v_т$. Предполагается, что $v_л > v_т > 0$, иначе лодка не смогла бы вернуться против течения.

В первый день:

Лодка прошла 40 км по течению и 40 км против течения.
Скорость лодки по течению реки равна $v_л + v_т$.
Время движения по течению: $t_{по} = \frac{40}{v_л + v_т}$.
Скорость лодки против течения реки равна $v_л - v_т$.
Время движения против течения: $t_{против} = \frac{40}{v_л - v_т}$.
Общее время, затраченное в первый день ($t_1$), равно сумме времени движения по течению и против течения:$t_1 = t_{по} + t_{против} = \frac{40}{v_л + v_т} + \frac{40}{v_л - v_т}$.

Приведем это выражение к общему знаменателю:$t_1 = \frac{40(v_л - v_т) + 40(v_л + v_т)}{(v_л + v_т)(v_л - v_т)} = \frac{40v_л - 40v_т + 40v_л + 40v_т}{v_л^2 - v_т^2} = \frac{80v_л}{v_л^2 - v_т^2}$.

Во второй день:

Лодка прошла 80 км по озеру. В озере течение отсутствует, поэтому скорость лодки равна ее собственной скорости $v_л$.
Время, затраченное во второй день ($t_2$), равно:$t_2 = \frac{80}{v_л}$.

Сравнение времени:

Теперь сравним $t_1$ и $t_2$:
$t_1 = \frac{80v_л}{v_л^2 - v_т^2}$
$t_2 = \frac{80}{v_л}$
Чтобы сравнить эти два выражения, можно представить $t_1$ через $t_2$:$t_1 = \frac{80}{v_л} \cdot \frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2} = t_2 \cdot \frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2}$.
Рассмотрим множитель $\frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2}$. Поскольку скорость течения $v_т$ — положительная величина, то $v_т^2 > 0$. Это означает, что знаменатель дроби ($v_л^2 - v_т^2$) меньше числителя ($v_л^2$). Так как и числитель, и знаменатель положительны, вся дробь будет больше 1:$\frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2} > 1$.
Следовательно, $t_1 = t_2 \cdot (\text{число больше 1})$, что означает $t_1 > t_2$.
Таким образом, в первый день времени было затрачено больше.

Это можно объяснить и по-другому: выигрыш во времени при движении по течению всегда меньше, чем проигрыш во времени при движении против течения на то же расстояние. Поэтому на путь туда и обратно по реке всегда уходит больше времени, чем на такой же путь по стоячей воде.

Ответ: больше времени было затрачено в первый день.