Номер 13, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 13, страница 54.

Условие.

13. Впишите какое-либо пропущенное число так, чтобы получилось неравенство, верное при любых значениях $x$ и $y$:

a) $x^2 - 6x + y^2 - 10y + \ldots > 0;$

б) $25x^2 + 121y^2 - 10x - 22y + \ldots > 0.$

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы данное неравенство было верным при любых значениях x и y, необходимо преобразовать его левую часть методом выделения полных квадратов.

Сгруппируем члены, содержащие x, и члены, содержащие y:
$(x^2 - 6x) + (y^2 - 10y) + C > 0$, где $C$ — искомое пропущенное число.

Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата.
Для выражения с x, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, имеем $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2=9$. Таким образом:
$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Для выражения с y, имеем $y^2 - 2 \cdot y \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $5^2=25$. Таким образом:
$y^2 - 10y + 25 = (y-5)^2$.

Теперь преобразуем левую часть исходного неравенства, добавляя и вычитая нужные числа, чтобы выделить полные квадраты:
$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 - 10y + 25) - 25 + C > 0$
$(x-3)^2 + (y-5)^2 - 34 + C > 0$

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, $(x-3)^2 \ge 0$ и $(y-5)^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма $(x-3)^2 + (y-5)^2 \ge 0$. Наименьшее значение суммы достигается при $x=3$ и $y=5$ и равно 0.
Чтобы неравенство выполнялось для всех x и y, его левая часть должна быть строго положительной даже при своем наименьшем значении. То есть:
$0 - 34 + C > 0$
$C > 34$

Следовательно, в качестве пропущенного числа можно взять любое число, строго большее 34. Например, 35.
Ответ: 35 (или любое другое число, большее 34).

б) Решим аналогично, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены:
$(25x^2 - 10x) + (121y^2 - 22y) + C > 0$, где $C$ — искомое пропущенное число.

Преобразуем выражение с x:
$25x^2 - 10x = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$.
$25x^2 - 10x + 1 = (5x-1)^2$.

Преобразуем выражение с y:
$121y^2 - 22y = (11y)^2 - 2 \cdot (11y) \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $1^2=1$.
$121y^2 - 22y + 1 = (11y-1)^2$.

Перепишем исходное неравенство, выделив полные квадраты:
$(25x^2 - 10x + 1) - 1 + (121y^2 - 22y + 1) - 1 + C > 0$
$(5x-1)^2 + (11y-1)^2 - 2 + C > 0$

Выражения $(5x-1)^2$ и $(11y-1)^2$ всегда неотрицательны. Их сумма $(5x-1)^2 + (11y-1)^2$ достигает своего наименьшего значения, равного 0, при $x=1/5$ и $y=1/11$.
Для того чтобы неравенство было верным при любых значениях переменных, его левая часть должна быть положительной при своем наименьшем значении:
$0 - 2 + C > 0$
$C > 2$

Значит, можно вписать любое число, строго большее 2. Например, 3.
Ответ: 3 (или любое другое число, большее 2).