Номер 12, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 12, страница 54.

Условие.

12. К числителю и знаменателю правильной дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа, прибавили по 1. Как изменилось при этом значение дроби? Выполните преобразования и выберите верный ответ.

Рассмотрим теперь разность

................

$p(S - \partial d, \Gamma) < (\partial \Gamma + a)(\partial \Gamma - \delta) \epsilon .0 (\epsilon$

................

1. Осталось тем же

2. Уменьшилось

3. Увеличилось

4. Ответ зависит от значений $a$ и $b$

Решение.

Решение 2.

Дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа. По определению правильной дроби, числитель меньше знаменателя, то есть $a < b$.

К числителю и знаменателю прибавили по 1, получив новую дробь $\frac{a+1}{b+1}$.

Чтобы определить, как изменилось значение дроби, сравним исходную дробь $\frac{a}{b}$ и новую дробь $\frac{a+1}{b+1}$. Для этого найдем их разность. Если разность положительна, то новая дробь больше, если отрицательна — меньше.

Вычислим разность: $\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+1)$:

$\frac{(a+1)b}{b(b+1)} - \frac{a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{(a+1)b - a(b+1)}{b(b+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{ab + b - (ab + a)}{b(b+1)} = \frac{ab + b - ab - a}{b(b+1)} = \frac{b - a}{b(b+1)}$

Теперь проанализируем знак полученной разности $\frac{b - a}{b(b+1)}$.

Знаменатель $b(b+1)$ является произведением двух натуральных чисел (поскольку $b$ — натуральное число, $b \geq 1$), следовательно, он всегда положителен.

Числитель равен $b - a$. Так как исходная дробь $\frac{a}{b}$ является правильной, то ее числитель $a$ меньше знаменателя $b$, то есть $a < b$. Отсюда следует, что разность $b - a$ всегда положительна.

Поскольку и числитель ($b - a$), и знаменатель ($b(b+1)$) положительны, то и вся дробь (их разность) положительна:

$\frac{a+1}{b+1} - \frac{a}{b} > 0$

Это означает, что новая дробь $\frac{a+1}{b+1}$ больше исходной дроби $\frac{a}{b}$.

Таким образом, значение дроби увеличилось.

Ответ: 3. Увеличилось