Номер 8, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 8, страница 53.

Условие.

8. Из данных неравенств выберите те, которые верны при любом значении a:

а) $4a^2 + a > (2a - 11)(11 + 2a) + a$

б) $9a(a + 2) > (3a + 4)^2 - 31$

в) $0.5(a - 16)(a + 16) > (1.5a - 2)a$

г) $2(4a + 1)(8a - 2) < (2a - 1) \cdot 16 \cdot (1 + 2a)$

Решение.

Решение 2.

a) Рассмотрим неравенство $4a^2 + a > (2a - 11)(11 + 2a) + a$.
Упростим правую часть неравенства. Заметим, что произведение $(2a - 11)(11 + 2a)$ является разностью квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=2a$ и $y=11$.
$(2a - 11)(2a + 11) = (2a)^2 - 11^2 = 4a^2 - 121$.
Подставим полученное выражение обратно в неравенство:
$4a^2 + a > (4a^2 - 121) + a$
$4a^2 + a > 4a^2 - 121 + a$
Вычтем из обеих частей неравенства $4a^2$ и $a$:
$4a^2 - 4a^2 + a - a > -121$
$0 > -121$
Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.
Ответ: Неравенство верно при любом значении $a$.

б) Рассмотрим неравенство $9a(a + 2) > (3a + 4)^2 - 31$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства.
Левая часть: $9a(a + 2) = 9a^2 + 18a$.
Правая часть: Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(3a + 4)^2 - 31 = ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 4 + 4^2) - 31 = (9a^2 + 24a + 16) - 31 = 9a^2 + 24a - 15$.
Теперь неравенство выглядит так:
$9a^2 + 18a > 9a^2 + 24a - 15$
Вычтем $9a^2$ из обеих частей:
$18a > 24a - 15$
Перенесем члены с переменной $a$ в одну сторону, а свободные члены в другую:
$15 > 24a - 18a$
$15 > 6a$
Разделим обе части на 6:
$a < \frac{15}{6}$
$a < 2.5$
Данное неравенство верно только для значений $a$, меньших $2.5$, а не для любого значения $a$. Например, при $a=3$ неравенство $15 > 6 \cdot 3$ (то есть $15 > 18$) является ложным.
Ответ: Неравенство не является верным при любом значении $a$.

в) Рассмотрим неравенство $0.5(a - 16)(a + 16) > (1.5a - 2)a$.
Упростим левую часть, используя формулу разности квадратов:
$0.5(a^2 - 16^2) = 0.5(a^2 - 256) = 0.5a^2 - 128$.
Раскроем скобки в правой части:
$(1.5a - 2)a = 1.5a^2 - 2a$.
Неравенство принимает вид:
$0.5a^2 - 128 > 1.5a^2 - 2a$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы сгруппировать их:
$0 > 1.5a^2 - 0.5a^2 - 2a + 128$
$0 > a^2 - 2a + 128$
Рассмотрим квадратичную функцию $f(a) = a^2 - 2a + 128$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$).
Найдем дискриминант $D$ квадратного трехчлена $a^2 - 2a + 128$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 128 = 4 - 512 = -508$.
Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$) и ветви параболы направлены вверх, значение квадратного трехчлена $a^2 - 2a + 128$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $a^2 - 2a + 128 < 0$ не выполняется ни при каком значении $a$.
Ответ: Неравенство не является верным при любом значении $a$.

г) Рассмотрим неравенство $2(4a + 1)(8a - 2) < (2a - 1) \cdot 16 \cdot (1 + 2a)$.
Упростим левую часть. Вынесем множитель 2 из скобки $(8a-2)$:
$2(4a + 1) \cdot 2(4a - 1) = 4(4a + 1)(4a - 1)$.
Применим формулу разности квадратов:
$4((4a)^2 - 1^2) = 4(16a^2 - 1) = 64a^2 - 4$.
Теперь упростим правую часть. Перегруппируем множители:
$16 \cdot (2a - 1)(1 + 2a) = 16(2a - 1)(2a + 1)$.
Применим формулу разности квадратов:
$16((2a)^2 - 1^2) = 16(4a^2 - 1) = 64a^2 - 16$.
Неравенство принимает вид:
$64a^2 - 4 < 64a^2 - 16$
Вычтем $64a^2$ из обеих частей неравенства:
$-4 < -16$
Это числовое неравенство является ложным, так как число $-4$ на числовой оси находится правее (больше), чем число $-16$.
Ответ: Неравенство не является верным при любом значении $a$.