Номер 6, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 6, страница 52.

Условие.

6. Докажите, что среднее арифметическое чисел $a$ и $b$, где $a < b$,

заключено между этими числами.

Заполните пропуски и закончите доказательство.

Среднее арифметическое чисел $a$ и $b$ равно $(a+b)/2$. Требу-

ется доказать, что ..................

Рассмотрим разность .................

Рассмотрим теперь разность ..................

Решение.

Решение 2.

Среднее арифметическое чисел $a$ и $b$ равно $\frac{a+b}{2}$. Требуется доказать, что $a < \frac{a+b}{2} < b$.

Рассмотрим разность

Чтобы доказать, что среднее арифметическое больше $a$, рассмотрим их разность: $\frac{a+b}{2} - a$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{a+b}{2} - a = \frac{a+b-2a}{2} = \frac{b-a}{2}$

Согласно условию задачи, $a < b$. Это означает, что разность $b-a$ является положительным числом, то есть $b-a > 0$.

Поскольку знаменатель $2$ также положителен, то вся дробь $\frac{b-a}{2}$ будет положительной.

Итак, мы получили, что $\frac{a+b}{2} - a > 0$. Перенеся $a$ в правую часть неравенства, получаем:

$\frac{a+b}{2} > a$

Ответ: Мы доказали первую часть неравенства: среднее арифметическое больше числа $a$.

Рассмотрим теперь разность

Чтобы доказать, что среднее арифметическое меньше $b$, рассмотрим их разность: $b - \frac{a+b}{2}$.

Приведем к общему знаменателю:

$b - \frac{a+b}{2} = \frac{2b-(a+b)}{2} = \frac{2b-a-b}{2} = \frac{b-a}{2}$

Как мы уже установили, $b-a > 0$, следовательно, дробь $\frac{b-a}{2}$ также положительна.

Итак, мы получили, что $b - \frac{a+b}{2} > 0$. Перенеся $\frac{a+b}{2}$ в правую часть неравенства, получаем:

$b > \frac{a+b}{2}$

Ответ: Мы доказали вторую часть неравенства: среднее арифметическое меньше числа $b$.

Объединив результаты, полученные в двух частях доказательства ($a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$), мы приходим к итоговому двойному неравенству:

$a < \frac{a+b}{2} < b$

Таким образом, утверждение, что среднее арифметическое чисел $a$ и $b$ заключено между этими числами, полностью доказано.