Номер 3, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 3, страница 51.

Условие.

3. Подчеркните неравенства, которые верны при любом значении a:

$a^2 > 0; \quad a^2 + 1 > 0; \quad (a - 1)^2 > 0; \quad (a + 4)^2 > 0;$

$-1 - a^2 < 0; \quad -a^2 < 0; \quad 3a^2 + 3 > 0.$

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы определить, какие из предложенных неравенств верны при любом значении переменной $a$, необходимо проанализировать каждое из них, используя основные свойства числовых неравенств и тот факт, что квадрат любого действительного числа является неотрицательным ($a^2 \ge 0$).

$a^2 > 0$

Это неравенство неверно. Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($a^2 \ge 0$). Если выбрать $a = 0$, то получим $0^2 > 0$, что упрощается до $0 > 0$. Это ложное утверждение. Следовательно, неравенство выполняется не для всех значений $a$.

Ответ: неверно.

$a^2 + 1 > 0$

Это неравенство верно. Минимальное значение выражения $a^2$ равно 0 (при $a=0$). Для любого другого значения $a$, $a^2$ будет строго положительным. Таким образом, наименьшее возможное значение всего выражения $a^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$. Так как $1 > 0$, то и выражение $a^2 + 1$ всегда будет больше нуля при любом значении $a$.

Ответ: верно.

$(a - 1)^2 > 0$

Это неравенство неверно. Выражение в скобках $(a - 1)$ в квадрате всегда будет неотрицательным: $(a - 1)^2 \ge 0$. Однако, если $a = 1$, то выражение обращается в ноль: $(1 - 1)^2 = 0^2 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным. Значит, существует значение $a$, при котором неравенство не выполняется.

Ответ: неверно.

$(a + 4)^2 > 0$

Это неравенство неверно по той же причине, что и предыдущее. Выражение $(a + 4)^2$ всегда неотрицательно. При $a = -4$, получаем $(-4 + 4)^2 = 0^2 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным. Таким образом, неравенство выполняется не для всех значений $a$.

Ответ: неверно.

$-1 - a^2 < 0$

Это неравенство верно. Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Если умножить обе части на -1, знак неравенства изменится: $-a^2 \le 0$. Теперь, если вычесть 1 из обеих частей, получим $-a^2 - 1 \le -1$. Поскольку $-1$ строго меньше нуля, то и выражение $-1 - a^2$ всегда будет меньше нуля при любом значении $a$.

Ответ: верно.

$-a^2 < 0$

Это неравенство неверно. Как мы знаем, $a^2 \ge 0$. Умножение на -1 дает $-a^2 \le 0$. Неравенство является строгим ($<0$), но при $a = 0$ выражение $-a^2$ равно 0. Неравенство $0 < 0$ ложно. Следовательно, неравенство выполняется не для всех значений $a$.

Ответ: неверно.

$3a^2 + 3 > 0$

Это неравенство верно. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a^2 + 1) > 0$. Поскольку 3 — положительное число, мы можем разделить обе части на 3, не меняя знака неравенства: $a^2 + 1 > 0$. Как мы уже установили во втором пункте, это неравенство верно для любого значения $a$.

Ответ: верно.