Номер 5, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 51.

Условие.

5. Подчеркните неравенства, которые верны при всех значениях переменных:

$(a-5)^2 + (b-2)^2 + 1 > 0$;

$(a+6)^2 + (b-1)^2 > 0$;

$112a^2 + 216b^2 > 0$;

$-a^2 - (17-b)^2 - 4 < 0$.

Решение.

Решение 2.

Для определения, какие из неравенств верны при всех значениях переменных, проанализируем каждое из них по отдельности.

$ (a - 5)^2 + (b - 2)^2 + 1 > 0 $

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение в квадрате всегда является неотрицательным числом, то есть $ (a - 5)^2 \ge 0 $ для любого действительного значения $a$, и $ (b - 2)^2 \ge 0 $ для любого действительного значения $b$. Сумма двух неотрицательных слагаемых также неотрицательна: $ (a - 5)^2 + (b - 2)^2 \ge 0 $. Минимальное значение этой суммы равно $0$ и достигается только при $a=5$ и $b=2$ одновременно. Если прибавить к этой сумме $1$, то минимальное значение всего выражения $ (a - 5)^2 + (b - 2)^2 + 1 $ будет равно $ 0 + 1 = 1 $. Поскольку $1 > 0$, левая часть неравенства всегда строго больше нуля. Следовательно, это неравенство верно при всех значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: неравенство верно при всех значениях переменных.

$ (a + 6)^2 + (b - 1)^2 > 0 $

Аналогично предыдущему пункту, сумма квадратов $ (a + 6)^2 + (b - 1)^2 $ всегда неотрицательна, то есть $ (a + 6)^2 + (b - 1)^2 \ge 0 $. Однако, в данном случае неравенство строгое. Необходимо проверить, может ли левая часть быть равной нулю. Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. $ (a + 6)^2 = 0 $ при $a = -6 $, а $ (b - 1)^2 = 0 $ при $b = 1 $. Если подставить эти значения в неравенство, получим $ (-6 + 6)^2 + (1 - 1)^2 = 0^2 + 0^2 = 0 $. Неравенство $ 0 > 0 $ является ложным. Таким образом, существует пара значений переменных ($a = -6$, $b = 1$), при которой неравенство не выполняется.

Ответ: неравенство неверно при всех значениях переменных.

$ 112a^2 + 216b^2 > 0 $

В левой части неравенства имеем сумму двух слагаемых. Так как $ a^2 \ge 0 $ и $ b^2 \ge 0 $, а коэффициенты $112$ и $216$ положительны, то $ 112a^2 \ge 0 $ и $ 216b^2 \ge 0 $. Их сумма $ 112a^2 + 216b^2 $ также всегда неотрицательна. Проверим, может ли левая часть обратиться в ноль. Это возможно, если оба слагаемых одновременно равны нулю: $ 112a^2 = 0 $ (что верно при $a=0$) и $ 216b^2 = 0 $ (что верно при $b=0$). При $a=0$ и $b=0$ левая часть равна $0$, и неравенство $ 0 > 0 $ не выполняется. Следовательно, это неравенство неверно для всех значений переменных.

Ответ: неравенство неверно при всех значениях переменных.

$ -a^2 - (17 - b)^2 - 4 < 0 $

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $a^2$ всегда неотрицательно ($ a^2 \ge 0 $), поэтому $ -a^2 \le 0 $. Максимальное значение $ -a^2 $ равно $0$ и достигается при $a=0$. Аналогично, $ (17 - b)^2 \ge 0 $, поэтому $ -(17 - b)^2 \le 0 $. Максимальное значение $ -(17 - b)^2 $ равно $0$ и достигается при $b=17$. Таким образом, максимальное значение суммы первых двух слагаемых $ -a^2 - (17 - b)^2 $ равно $ 0 + 0 = 0 $. Тогда максимальное значение всей левой части неравенства равно $ 0 - 4 = -4 $. Поскольку максимальное значение левой части равно $-4$, а $ -4 < 0 $, то левая часть всегда будет строго меньше нуля. Это означает, что неравенство верно при любых значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: неравенство верно при всех значениях переменных.

---

Таким образом, неравенства, которые верны при всех значениях переменных:

$ (a - 5)^2 + (b - 2)^2 + 1 > 0 $

$ -a^2 - (17 - b)^2 - 4 < 0 $