Номер 7, страница 48, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

30. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 7, страница 48.

Условие.

7. Иван задумал двузначное число. Цифра десятков этого числа на 5 больше цифры единиц. Если разделить задуманное число на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке — 11. Найдите это число.

Решение.

Пусть $x$ — цифра десятков данного числа, $y$ — цифра единиц.

По условию, цифра десятков этого числа на 5 больше цифры единиц. Следовательно,

$x = y + 5$ (1)

Само задуманное число — $10x + y$, а произведение его цифр — $xy$.

По условию, при делении задуманного числа на произведение его цифр в частном получится 3, а в остатке — 11, следовательно,

$10x + y = 3xy + 11$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Решение.

Решение 2.

Пусть $x$ — цифра десятков данного числа, $y$ — цифра единиц.

По условию, цифра десятков этого числа на 5 больше цифры единиц. Следовательно,

$x = y + 5$ (1)

Само задуманное число — $10x + y$, а произведение его цифр — $xy$.

По условию, при делении задуманного числа на произведение его цифр в частном получится 3, а в остатке — 11, следовательно,

$10x + y = 3xy + 11$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} x = y + 5 \\ 10x + y = 3xy + 11 \end{cases} $

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$10(y + 5) + y = 3(y + 5)y + 11$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$10y + 50 + y = 3y^2 + 15y + 11$

$11y + 50 = 3y^2 + 15y + 11$

Перенеся все члены в правую часть, получим квадратное уравнение:

$3y^2 + 4y - 39 = 0$

Решим его. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-39) = 16 + 468 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 22}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 22}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3}$

Поскольку $y$ — это цифра единиц, она должна быть целым неотрицательным числом. Этому условию удовлетворяет только корень $y_1 = 3$.

Теперь найдем цифру десятков $x$ из уравнения (1):

$x = y + 5 = 3 + 5 = 8$

Таким образом, цифра десятков равна 8, а цифра единиц — 3. Искомое число — 83.

Проверим:

1. Цифра десятков 8 на 5 больше цифры единиц 3 ($8-3=5$). Верно.

2. Произведение цифр $8 \cdot 3 = 24$. Делим 83 на 24: $83 = 3 \cdot 24 + 11$. Частное равно 3, остаток равен 11. Верно.

Ответ: 83.