Номер 9, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

30. Решение задач. Глава 3. Уравнения и системы уравнений (продолжение). Часть 2 - номер 9, страница 50.

Условие.

9. Найдите двузначное число, которое в 7 раз больше суммы его цифр и на 52 больше их произведения.

Решение.

Решение 2.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — это цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).
Сумма его цифр равна $a+b$, а произведение — $a \cdot b$.

Исходя из условий задачи, составим систему из двух уравнений:
1) Число в 7 раз больше суммы его цифр: $10a + b = 7(a+b)$
2) Число на 52 больше произведения его цифр: $10a + b = a \cdot b + 52$

Сначала решим первое уравнение:
$10a + b = 7a + 7b$
$10a - 7a = 7b - b$
$3a = 6b$
Разделив обе части на 3, получим простое соотношение между цифрами:
$a = 2b$

Теперь подставим это выражение для $a$ во второе уравнение системы:
$10(2b) + b = (2b) \cdot b + 52$
$20b + b = 2b^2 + 52$
$21b = 2b^2 + 52$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$:
$2b^2 - 21b + 52 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант:
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 52 = 441 - 416 = 25$
Теперь найдем возможные значения для $b$:
$b = \frac{-(-21) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{21 \pm 5}{4}$

Получаем два корня:
$b_1 = \frac{21 + 5}{4} = \frac{26}{4} = 6.5$
$b_2 = \frac{21 - 5}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Поскольку $b$ — это цифра, она должна быть целым числом от 0 до 9. Значение $b_1 = 6.5$ не является целым, поэтому оно не подходит. Единственное возможное решение — это $b = 4$.

Зная $b$, найдем $a$ из соотношения $a = 2b$:
$a = 2 \cdot 4 = 8$

Таким образом, цифра десятков равна 8, а цифра единиц — 4. Искомое число — 84.

Проведем проверку:
Сумма цифр числа 84: $8+4 = 12$. Число 84 больше суммы в $84 / 12 = 7$ раз. Первое условие выполнено.
Произведение цифр числа 84: $8 \cdot 4 = 32$. Число 84 больше произведения на $84 - 32 = 52$. Второе условие выполнено.

Ответ: 84