Номер 7, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 7, страница 52.

Условие.

7. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

$a(4a + 1) > (2a - 1)(2a + 1) + a.$

$a(4a + 1) - (2a - 1)(2a + 1) - a = 4a^2 + a - 4a^2 + 1 - a = 1;$

$1 > 0$. Значит, неравенство верно при любом значении $a$.

a) $(2b - 1)2b + 1 > (2b - 1)(1 + 2b) - 2(b + 4);$

...

...

...

б) $3 + 42p^2 > (6p - 1)(1 + 6p) - 17.$

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы доказать, что неравенство $(2b - 1)2b + 1 > (2b - 1)(1 + 2b) - 2(b + 4)$ верно при любом значении переменной $b$, преобразуем обе его части.

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$(2b - 1)2b + 1 = 2b \cdot 2b - 1 \cdot 2b + 1 = 4b^2 - 2b + 1$

Раскроем скобки в правой части неравенства. Выражение $(2b - 1)(1 + 2b)$ является формулой разности квадратов: $(2b - 1)(1 + 2b) = (2b)^2 - 1^2 = 4b^2 - 1$.

$(2b - 1)(1 + 2b) - 2(b + 4) = (4b^2 - 1) - (2b + 8) = 4b^2 - 1 - 2b - 8 = 4b^2 - 2b - 9$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное неравенство:

$4b^2 - 2b + 1 > 4b^2 - 2b - 9$

Перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$4b^2 - 2b + 1 - 4b^2 + 2b + 9 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4b^2 - 4b^2) + (-2b + 2b) + (1 + 9) > 0$

$10 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $b$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Неравенство верно, так как после преобразований оно сводится к верному числовому неравенству $10 > 0$.

б)

Чтобы доказать, что неравенство $3 + 42p^2 > (6p - 1)(1 + 6p) - 17$ верно при любом значении переменной $p$, преобразуем его.

Левая часть неравенства уже в упрощенном виде: $3 + 42p^2$.

Упростим правую часть. Выражение $(6p - 1)(1 + 6p)$ является формулой разности квадратов: $(6p - 1)(1 + 6p) = (6p)^2 - 1^2 = 36p^2 - 1$.

$(6p - 1)(1 + 6p) - 17 = (36p^2 - 1) - 17 = 36p^2 - 18$

Подставим упрощенное выражение в исходное неравенство:

$3 + 42p^2 > 36p^2 - 18$

Перенесем все члены в левую часть неравенства, меняя знаки на противоположные:

$3 + 42p^2 - 36p^2 + 18 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(42p^2 - 36p^2) + (3 + 18) > 0$

$6p^2 + 21 > 0$

Рассмотрим полученное неравенство. Для любого действительного числа $p$ его квадрат $p^2$ является неотрицательным, то есть $p^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $6p^2$ также всегда неотрицательно: $6p^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу ($6p^2$) прибавить положительное число (21), результат всегда будет положительным:

$6p^2 + 21 \ge 0 + 21$, то есть $6p^2 + 21 \ge 21$.

Поскольку $21 > 0$, то и неравенство $6p^2 + 21 > 0$ всегда верно. Значит, и исходное неравенство верно при любом значении $p$.

Ответ: Неравенство верно, так как после преобразований оно сводится к неравенству $6p^2 + 21 > 0$, которое истинно для любого значения $p$, поскольку $p^2 \ge 0$.