Номер 14, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Числовые неравенства. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 14, страница 54.

Условие.

14. Докажите неравенство:

a) $81x^2 + 9y^2 + 36x - 6y + 10 > 0$;

б) $16p^2 + 9m^2 > 88p - 54m - 205$.

Решение.

Решение 2.

a)

Для доказательства неравенства $81x^2 + 9y^2 + 36x - 6y + 10 > 0$ преобразуем его левую часть, применив метод выделения полного квадрата для переменных $x$ и $y$.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые переменные:
$(81x^2 + 36x) + (9y^2 - 6y) + 10 > 0$

Теперь выделим полный квадрат для группы с переменной $x$. Для этого представим выражение в виде $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
$81x^2 + 36x = (9x)^2 + 2 \cdot (9x) \cdot 2$.
Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $2^2 = 4$:
$(9x)^2 + 2 \cdot (9x) \cdot 2 + 4 - 4 = (9x + 2)^2 - 4$.

Аналогично выделим полный квадрат для группы с переменной $y$. Для этого представим выражение в виде $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
$9y^2 - 6y = (3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1$.
Чтобы получить полный квадрат, необходимо добавить и вычесть $1^2 = 1$:
$(3y)^2 - 2 \cdot (3y) \cdot 1 + 1 - 1 = (3y - 1)^2 - 1$.

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:
$((9x + 2)^2 - 4) + ((3y - 1)^2 - 1) + 10 > 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(9x + 2)^2 + (3y - 1)^2 - 4 - 1 + 10 > 0$
$(9x + 2)^2 + (3y - 1)^2 + 5 > 0$

Проанализируем итоговое выражение. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому:
$(9x + 2)^2 \ge 0$ для любых $x$.
$(3y - 1)^2 \ge 0$ для любых $y$.
Следовательно, их сумма также неотрицательна: $(9x + 2)^2 + (3y - 1)^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному числу положительное число 5, мы получим сумму, которая всегда будет больше или равна 5, а значит, строго больше 0:
$(9x + 2)^2 + (3y - 1)^2 + 5 \ge 5 > 0$.
Таким образом, неравенство справедливо для любых действительных значений $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Для доказательства неравенства $16p^2 + 9m^2 > 88p - 54m - 205$ сначала перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$16p^2 + 9m^2 - 88p + 54m + 205 > 0$

Как и в предыдущем пункте, сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты.
$(16p^2 - 88p) + (9m^2 + 54m) + 205 > 0$

Выделим полный квадрат для группы с переменной $p$:
$16p^2 - 88p = (4p)^2 - 2 \cdot (4p) \cdot 11$.
Добавим и вычтем $11^2 = 121$:
$(4p)^2 - 2 \cdot (4p) \cdot 11 + 121 - 121 = (4p - 11)^2 - 121$.

Выделим полный квадрат для группы с переменной $m$:
$9m^2 + 54m = (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot 9$.
Добавим и вычтем $9^2 = 81$:
$(3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot 9 + 81 - 81 = (3m + 9)^2 - 81$.

Подставим полученные выражения в неравенство:
$((4p - 11)^2 - 121) + ((3m + 9)^2 - 81) + 205 > 0$
Раскроем скобки и упростим:
$(4p - 11)^2 + (3m + 9)^2 - 121 - 81 + 205 > 0$
$(4p - 11)^2 + (3m + 9)^2 - 202 + 205 > 0$
$(4p - 11)^2 + (3m + 9)^2 + 3 > 0$

Полученное выражение всегда истинно, так как:
$(4p - 11)^2 \ge 0$ для любых $p$.
$(3m + 9)^2 \ge 0$ для любых $m$.
Сумма двух неотрицательных слагаемых неотрицательна: $(4p - 11)^2 + (3m + 9)^2 \ge 0$.
Прибавление положительного числа 3 к неотрицательной сумме дает результат, который всегда будет больше или равен 3, и, следовательно, строго больше 0:
$(4p - 11)^2 + (3m + 9)^2 + 3 \ge 3 > 0$.
Неравенство доказано для любых действительных значений $p$ и $m$.

Ответ: Неравенство доказано.