Номер 2, страница 56, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 2, страница 56.

Условие.

2. Поставьте знак > или < так, чтобы получилось истинное высказывание:

а) если $x < y$ и $p$ — положительное число, то $xp \square yp$;

б) если $x < y$ и $p$ — отрицательное число, то $xp \square yp$;

в) если $x < y$ и $x, y$ — положительные числа, то $\frac{1}{x} \square \frac{1}{y}$;

г) если $x < y$ и $x, y$ — отрицательные числа, то $\frac{1}{x} \square \frac{1}{y}$.

Решение.

Решение 2.

а) если $x < y$ и $p$ — положительное число, то $xp \ \Box \ yp$
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Поскольку $p$ — положительное число ($p>0$), то при умножении обеих частей неравенства $x < y$ на $p$ знак неравенства сохранится. Таким образом, получаем $xp < yp$.
Пример: Пусть $x=3$, $y=5$ и $p=2$. Условие $3 < 5$ истинно, $p=2 > 0$. Тогда $xp = 3 \cdot 2 = 6$ и $yp = 5 \cdot 2 = 10$. Верным будет неравенство $6 < 10$.
Ответ: $xp < yp$

б) если $x < y$ и $p$ — отрицательное число, то $xp \ \Box \ yp$
Согласно свойству числовых неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Поскольку $p$ — отрицательное число ($p<0$), то при умножении обеих частей неравенства $x < y$ на $p$ знак неравенства изменится с «меньше» на «больше». Таким образом, получаем $xp > yp$.
Пример: Пусть $x=3$, $y=5$ и $p=-2$. Условие $3 < 5$ истинно, $p=-2 < 0$. Тогда $xp = 3 \cdot (-2) = -6$ и $yp = 5 \cdot (-2) = -10$. Верным будет неравенство $-6 > -10$.
Ответ: $xp > yp$

в) если $x < y$ и $x, y$ — положительные числа, то $\frac{1}{x} \ \Box \ \frac{1}{y}$
Если $x$ и $y$ — числа одного знака, то из неравенства $x < y$ следует неравенство $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$. Поскольку $x$ и $y$ — положительные числа ($x>0, y>0$), то их произведение $xy$ также будет положительным ($xy>0$). Мы можем разделить обе части неравенства $x < y$ на $xy$. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{x}{xy} < \frac{y}{xy}$
$\frac{1}{y} < \frac{1}{x}$
Это неравенство эквивалентно записи $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$.
Пример: Пусть $x=2$, $y=4$. Оба числа положительны, и $2 < 4$ истинно. Тогда $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{y} = \frac{1}{4}$. Верным будет неравенство $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$, так как $0.5 > 0.25$.
Ответ: $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$

г) если $x < y$ и $x, y$ — отрицательные числа, то $\frac{1}{x} \ \Box \ \frac{1}{y}$
Как и в предыдущем случае, если $x$ и $y$ — числа одного знака, то из неравенства $x < y$ следует неравенство $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$. Поскольку $x$ и $y$ — отрицательные числа ($x<0, y<0$), их произведение $xy$ будет положительным ($xy>0$). Мы можем разделить обе части неравенства $x < y$ на $xy$. Так как мы делим на положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{x}{xy} < \frac{y}{xy}$
$\frac{1}{y} < \frac{1}{x}$
Это неравенство эквивалентно записи $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$.
Пример: Пусть $x=-4$, $y=-2$. Оба числа отрицательны, и $-4 < -2$ истинно. Тогда $\frac{1}{x} = \frac{1}{-4} = -0.25$ и $\frac{1}{y} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Верным будет неравенство $-0.25 > -0.5$.
Ответ: $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$