Номер 7, страница 57, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 7, страница 57.

Условие.

7. Сравните значения выражений, зная, что $a < b$.

$(\sqrt{7}+\sqrt{3}-2)a$ и $(\sqrt{7}+\sqrt{3}-2)b$. Так как $\sqrt{7}>2$, $\sqrt{3}>1$, то $\sqrt{7}+\sqrt{3}-2>0$. Значит, $(\sqrt{7}+\sqrt{3}-2)a < (\sqrt{7}+\sqrt{3}-2)b$.

a) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-11)a$ и $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-11)b$;

б) $(\sqrt{5}-\sqrt{2}+3)a$ и $(\sqrt{5}-\sqrt{2}+3)b$;

в) $(3\sqrt{2}-\sqrt{19}-6)a$ и $(3\sqrt{2}-\sqrt{19}-6)b$.

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы сравнить выражения $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-11)a$ и $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-11)b$, зная, что $a < b$, нам нужно определить знак общего множителя $k = \sqrt{2}+\sqrt{3}-11$.

Оценим значения корней: $1 < \sqrt{2} < 2$ и $1 < \sqrt{3} < 2$. Сложив эти неравенства, получим: $1+1 < \sqrt{2}+\sqrt{3} < 2+2$, то есть $2 < \sqrt{2}+\sqrt{3} < 4$.

Так как значение $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ находится в интервале от 2 до 4, оно очевидно меньше 11. Следовательно, разность $\sqrt{2}+\sqrt{3}-11$ будет отрицательной.

Итак, $k = \sqrt{2}+\sqrt{3}-11 < 0$.

При умножении обеих частей неравенства $a < b$ на отрицательное число $k$, знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $(\sqrt{2}+\sqrt{3}-11)a > (\sqrt{2}+\sqrt{3}-11)b$.

б)

Для сравнения выражений $(\sqrt{5}-\sqrt{2}+3)a$ и $(\sqrt{5}-\sqrt{2}+3)b$ при условии $a < b$, определим знак общего множителя $k = \sqrt{5}-\sqrt{2}+3$.

Сравним числа $\sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$. Так как подкоренное выражение 5 больше 2, то $\sqrt{5} > \sqrt{2}$. Это означает, что разность $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ является положительным числом.

Сумма положительного числа $(\sqrt{5}-\sqrt{2})$ и положительного числа 3 также будет положительным числом.

Итак, $k = \sqrt{5}-\sqrt{2}+3 > 0$.

При умножении обеих частей неравенства $a < b$ на положительное число $k$, знак неравенства сохраняется.

Ответ: $(\sqrt{5}-\sqrt{2}+3)a < (\sqrt{5}-\sqrt{2}+3)b$.

в)

Чтобы сравнить $(3\sqrt{2}-\sqrt{19}-6)a$ и $(3\sqrt{2}-\sqrt{19}-6)b$ при $a < b$, нам нужно выяснить знак общего множителя $k = 3\sqrt{2}-\sqrt{19}-6$.

Преобразуем выражение $3\sqrt{2}$, внеся множитель 3 под знак корня: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Тогда множитель $k$ равен $\sqrt{18}-\sqrt{19}-6$.

Сравним $\sqrt{18}$ и $\sqrt{19}$. Так как $18 < 19$, то $\sqrt{18} < \sqrt{19}$. Значит, разность $\sqrt{18}-\sqrt{19}$ является отрицательным числом.

Если из отрицательного числа $(\sqrt{18}-\sqrt{19})$ вычесть положительное число 6, результат также будет отрицательным.

Итак, $k = \sqrt{18}-\sqrt{19}-6 < 0$.

Так как мы умножаем обе части неравенства $a < b$ на отрицательное число $k$, знак неравенства меняется на противоположный.

Ответ: $(3\sqrt{2}-\sqrt{19}-6)a > (3\sqrt{2}-\sqrt{19}-6)b$.