Номер 13, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 13, страница 59.

Условие.

13. Лодка в первый день прошла некоторое расстояние по течению реки и вернулась обратно. Во второй день она прошла такое же расстояние по реке с более быстрым течением и также вернулась обратно. В какой из дней было затрачено на весь путь больше времени?

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде, $y$ км/ч — скорость более медленного течения, $z$ км/ч — скорость более быстрого течения. Обозначим через $t_1$ ч — время, затраченное на весь путь в первый день, $t_2$ ч — время, затраченное во второй день, $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка. Тогда

$t_1 = \frac{s}{x+y} + \frac{s}{x-y}$ , $t_2 = \frac{s}{x+z} + \frac{s}{x-z}$

Преобразуем разность $t_1 - t_2$:

$t_1 - t_2 = \text{...............}$

Решение.

Решение 2.

Решение. Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в стоячей воде, $y$ км/ч — скорость более медленного течения (в первый день), $z$ км/ч — скорость более быстрого течения (во второй день). Обозначим через $t_1$ ч — время, затраченное на весь путь в первый день, $t_2$ ч — время, затраченное во второй день, $s$ км — расстояние, на которое отплывала лодка в одну сторону.

По условию задачи, течение во второй день было быстрее, значит $z > y$. Также, чтобы лодка могла вернуться обратно (плыть против течения), ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > z$ и $x > y$.

Время движения складывается из времени по течению и времени против течения. Скорость по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения, а скорость против течения — их разности.

Тогда время, затраченное в первый день:

$t_1 = \frac{s}{x+y} + \frac{s}{x-y}$

Время, затраченное во второй день:

$t_2 = \frac{s}{x+z} + \frac{s}{x-z}$

Преобразуем разность $t_1 - t_2$:

Для начала приведем каждое выражение к общему знаменателю:

$t_1 = \frac{s(x-y) + s(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{sx - sy + sx + sy}{x^2 - y^2} = \frac{2sx}{x^2 - y^2}$

$t_2 = \frac{s(x-z) + s(x+z)}{(x+z)(x-z)} = \frac{sx - sz + sx + sz}{x^2 - z^2} = \frac{2sx}{x^2 - z^2}$

Теперь найдем их разность:

$t_1 - t_2 = \frac{2sx}{x^2 - y^2} - \frac{2sx}{x^2 - z^2}$

Вынесем общий множитель $2sx$ за скобки:

$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{1}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x^2 - z^2} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$t_1 - t_2 = 2sx \left( \frac{(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} \right) = 2sx \left( \frac{x^2 - z^2 - x^2 + y^2}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} \right)$

После упрощения числителя в скобках получаем:

$t_1 - t_2 = \frac{2sx(y^2 - z^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}$

Теперь проанализируем знак этого выражения.

1. $2sx > 0$, так как скорость лодки $x$ и расстояние $s$ — положительные величины.

2. В знаменателе: поскольку лодка должна плыть против течения, ее скорость $x$ больше скорости течения $z$ и $y$ ($x > z > y$). Следовательно, $x^2 > z^2$ и $x^2 > y^2$. Это означает, что оба множителя в знаменателе, $(x^2 - y^2)$ и $(x^2 - z^2)$, являются положительными. Значит, весь знаменатель положителен.

3. В числителе: множитель $(y^2 - z^2)$. По условию, течение во второй день было быстрее, т.е. $z > y$. Так как скорости положительны, то $z^2 > y^2$, и, следовательно, выражение $(y^2 - z^2)$ отрицательно.

Таким образом, мы получили дробь, в которой числитель отрицателен (произведение положительного $2sx$ и отрицательного $y^2-z^2$), а знаменатель положителен. Вся дробь отрицательна:

$t_1 - t_2 < 0$

Из этого неравенства следует, что $t_1 < t_2$.

Ответ: Больше времени было затрачено во второй день.