Номер 11, страница 58, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Свойства числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 11, страница 58.

Условие.

11. Сравните с нулём число b, если верно неравенство:

а) $3b > \sqrt{10}b$;

б) $b > (\sqrt{7}-\sqrt{5})b$;

в) $(2-\sqrt{3})b > 2b$.

Решение.

Решение 2.

а)

Дано неравенство $3b > \sqrt{10}b$.

Перенесем все члены, содержащие $b$, в одну сторону:

$3b - \sqrt{10}b > 0$

Вынесем $b$ за скобки:

$b(3 - \sqrt{10}) > 0$

Теперь оценим знак выражения в скобках $(3 - \sqrt{10})$. Для этого сравним числа $3$ и $\sqrt{10}$. Так как оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты:

$3^2 = 9$

$(\sqrt{10})^2 = 10$

Поскольку $9 < 10$, то $3 < \sqrt{10}$. Это означает, что разность $(3 - \sqrt{10})$ является отрицательным числом.

Неравенство $b(3 - \sqrt{10}) > 0$ представляет собой произведение двух множителей, которое больше нуля. Это возможно только если оба множителя имеют одинаковый знак. Так как мы установили, что $(3 - \sqrt{10}) < 0$, то и число $b$ должно быть отрицательным, чтобы их произведение было положительным.

Следовательно, $b < 0$.

Ответ: $b < 0$.

б)

Дано неравенство $b > (\sqrt{7} - \sqrt{5})b$.

Перенесем все члены с $b$ в левую часть:

$b - (\sqrt{7} - \sqrt{5})b > 0$

Вынесем $b$ за скобки:

$b(1 - (\sqrt{7} - \sqrt{5})) > 0$

$b(1 - \sqrt{7} + \sqrt{5}) > 0$

Оценим знак выражения в скобках $(1 - \sqrt{7} + \sqrt{5})$. Для этого сравним $(1 + \sqrt{5})$ и $\sqrt{7}$. Оба выражения положительны, поэтому сравним их квадраты:

$(1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$

$(\sqrt{7})^2 = 7$

Теперь сравним $6 + 2\sqrt{5}$ с $7$. Это равносильно сравнению $2\sqrt{5}$ с $1$. Снова возведем в квадрат:

$(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

$1^2 = 1$

Так как $20 > 1$, то $2\sqrt{5} > 1$, а значит $6 + 2\sqrt{5} > 7$. Из этого следует, что $(1 + \sqrt{5}) > \sqrt{7}$, и, следовательно, выражение $(1 - \sqrt{7} + \sqrt{5})$ положительно.

В неравенстве $b(1 - \sqrt{7} + \sqrt{5}) > 0$ второй множитель положителен. Чтобы произведение было положительным, первый множитель $b$ также должен быть положительным.

Следовательно, $b > 0$.

Ответ: $b > 0$.

в)

Дано неравенство $(2 - \sqrt{3})b > 2b$.

Перенесем все члены с $b$ в левую часть:

$(2 - \sqrt{3})b - 2b > 0$

Вынесем $b$ за скобки:

$b((2 - \sqrt{3}) - 2) > 0$

$b(2 - \sqrt{3} - 2) > 0$

$b(-\sqrt{3}) > 0$

Множитель $(-\sqrt{3})$ является отрицательным числом.

Произведение $b \cdot (-\sqrt{3})$ больше нуля. Это возможно, только если оба множителя одного знака. Поскольку $(-\sqrt{3}) < 0$, то и число $b$ должно быть отрицательным.

Следовательно, $b < 0$.

Ответ: $b < 0$.