Номер 3, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

33. Сложение и умножение числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 3, страница 60.

Условие.

3. Оцените сумму, разность, произведение и частное чисел $a$ и $b$, если $5 < a < 6$ и $2 < b < 3$.

Решение.

Решение 2.

Даны неравенства: $5 < a < 6$ и $2 < b < 3$.

Сумма

Для нахождения границ суммы $a + b$ необходимо сложить почленно левые и правые части исходных неравенств. Правило сложения неравенств одного знака: если $x_1 < a < x_2$ и $y_1 < b < y_2$, то $x_1 + y_1 < a + b < x_2 + y_2$.

Применим это правило:

$5 + 2 < a + b < 6 + 3$

Выполняем сложение:

$7 < a + b < 9$

Ответ: $7 < a + b < 9$.

Разность

Для оценки разности $a - b$ представим ее как сумму $a + (-b)$. Сначала найдем границы для $-b$. Умножим неравенство $2 < b < 3$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 2 > -1 \cdot b > -1 \cdot 3$, что равносильно $-3 < -b < -2$.

Теперь сложим почленно неравенства для $a$ и $-b$:

$5 + (-3) < a + (-b) < 6 + (-2)$

Выполняем вычисления:

$2 < a - b < 4$

Ответ: $2 < a - b < 4$.

Произведение

Так как все части исходных неравенств являются положительными числами, для оценки произведения $a \cdot b$ можно почленно их перемножить. Правило умножения для положительных чисел: если $x_1 < a < x_2$ и $y_1 < b < y_2$ (где $x_1, x_2, y_1, y_2 > 0$), то $x_1 \cdot y_1 < a \cdot b < x_2 \cdot y_2$.

Применим это правило:

$5 \cdot 2 < a \cdot b < 6 \cdot 3$

Выполняем умножение:

$10 < ab < 18$

Ответ: $10 < ab < 18$.

Частное

Для оценки частного $\frac{a}{b}$ представим его в виде произведения $a \cdot \frac{1}{b}$. Сначала найдем границы для $\frac{1}{b}$. Так как $2 < b < 3$, и все части неравенства положительны, то для обратной величины неравенство меняет знак и границы "переворачиваются":

$\frac{1}{3} < \frac{1}{b} < \frac{1}{2}$

Теперь умножим почленно неравенства для $a$ и $\frac{1}{b}$ (все части положительны):

$5 \cdot \frac{1}{3} < a \cdot \frac{1}{b} < 6 \cdot \frac{1}{2}$

Выполняем вычисления:

$\frac{5}{3} < \frac{a}{b} < 3$

Ответ: $\frac{5}{3} < \frac{a}{b} < 3$.