Номер 10, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

33. Сложение и умножение числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 10, страница 62.

Условие.

10. Воспользовавшись соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что если $xyz = 9, x > 0, y > 0, z > 0$, то

$(1+x)(1+y)(1+z) > 24$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства воспользуемся соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел (неравенство Коши). Для любых положительных чисел $a$ и $b$ справедливо:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

По условию задачи числа $x, y, z$ положительны. Следовательно, мы можем применить неравенство Коши к каждой из скобок в выражении $(1+x)(1+y)(1+z)$.

1. Для чисел $1$ и $x$:

$\frac{1+x}{2} \ge \sqrt{1 \cdot x} \implies 1+x \ge 2\sqrt{x}$

2. Для чисел $1$ и $y$:

$\frac{1+y}{2} \ge \sqrt{1 \cdot y} \implies 1+y \ge 2\sqrt{y}$

3. Для чисел $1$ и $z$:

$\frac{1+z}{2} \ge \sqrt{1 \cdot z} \implies 1+z \ge 2\sqrt{z}$

Поскольку все части полученных неравенств положительны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(1+x)(1+y)(1+z) \ge (2\sqrt{x})(2\sqrt{y})(2\sqrt{z})$

$(1+x)(1+y)(1+z) \ge 8\sqrt{xyz}$

Из условия задачи нам известно, что $xyz = 9$. Подставим это значение в наше неравенство:

$(1+x)(1+y)(1+z) \ge 8\sqrt{9}$

$(1+x)(1+y)(1+z) \ge 8 \cdot 3$

$(1+x)(1+y)(1+z) \ge 24$

Теперь необходимо доказать, что неравенство является строгим. Равенство в полученном выражении $(1+x)(1+y)(1+z) = 24$ могло бы достигаться только в том случае, если бы во всех трех исходных неравенствах Коши достигалось равенство. Это потребовало бы одновременного выполнения следующих условий:

$x=1, \quad y=1, \quad z=1$

В этом случае произведение $xyz$ было бы равно $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Однако по условию задачи $xyz = 9$. Это означает, что одновременное равенство $x=1, y=1, z=1$ невозможно. Следовательно, хотя бы одно из трех примененных неравенств Коши является строгим.

Поэтому равенство $(1+x)(1+y)(1+z) = 24$ при заданных условиях недостижимо, и неравенство должно быть строгим.

$(1+x)(1+y)(1+z) > 24$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.