Номер 9, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

33. Сложение и умножение числовых неравенств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 9, страница 62.

Условие.

9. Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите неравенство

$(1+\frac{a^2}{bc})(1+\frac{b^2}{ac})(1+\frac{c^2}{ab})\ge 8.$

Решение.

Решение 2.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел $x$ и $y$, которое гласит:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$ , или, что то же самое, $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

В условии сказано, что числа положительные, следовательно $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$. Это гарантирует, что все выражения под корнями и в знаменателях будут положительными.

Рассмотрим каждый из трех сомножителей в левой части доказываемого неравенства по отдельности.

1. Для первого сомножителя $(1 + \frac{a^2}{bc})$, применим неравенство о средних, взяв $x=1$ и $y=\frac{a^2}{bc}$:

$1 + \frac{a^2}{bc} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{a^2}{bc}} = 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}} = 2\frac{a}{\sqrt{bc}}$

2. Для второго сомножителя $(1 + \frac{b^2}{ac})$, аналогично, взяв $x=1$ и $y=\frac{b^2}{ac}$:

$1 + \frac{b^2}{ac} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{b^2}{ac}} = 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}} = 2\frac{b}{\sqrt{ac}}$

3. Для третьего сомножителя $(1 + \frac{c^2}{ab})$, взяв $x=1$ и $y=\frac{c^2}{ab}$:

$1 + \frac{c^2}{ab} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{c^2}{ab}} = 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}} = 2\frac{c}{\sqrt{ab}}$

Теперь у нас есть три неравенства. Поскольку все части этих неравенств положительны, мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge (2\frac{a}{\sqrt{bc}}) \cdot (2\frac{b}{\sqrt{ac}}) \cdot (2\frac{c}{\sqrt{ab}})$

Упростим правую часть полученного выражения:

$2\frac{a}{\sqrt{bc}} \cdot 2\frac{b}{\sqrt{ac}} \cdot 2\frac{c}{\sqrt{ab}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{bc \cdot ac \cdot ab}} = 8 \cdot \frac{abc}{\sqrt{a^2b^2c^2}}$

Так как $a, b, c$ — положительные числа, то $abc > 0$, и $\sqrt{a^2b^2c^2} = \sqrt{(abc)^2} = abc$.

Следовательно, правая часть равна:

$8 \cdot \frac{abc}{abc} = 8$

Таким образом, мы доказали, что:

$(1 + \frac{a^2}{bc})(1 + \frac{b^2}{ac})(1 + \frac{c^2}{ab}) \ge 8$

Ответ: Неравенство доказано. Что и требовалось доказать.