Номер 5, страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

34. Пересечение и объединение множеств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 64.

Условие.

5. Известно, что $A$ — множество целых чисел, кратных 6, $B$ — множество целых чисел, кратных 18. Подчеркните верные равенства:

$A \cap B = B;$ $A \cup B = B;$ $A \cap B = A;$ $A \cup B = A.$

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, множество $A$ состоит из всех целых чисел, кратных 6, а множество $B$ состоит из всех целых чисел, кратных 18.

Сначала установим отношение между этими двумя множествами. Если целое число делится на 18, то оно гарантированно делится и на 6, так как $18 = 6 \times 3$. Это означает, что любое число, принадлежащее множеству $B$, также принадлежит и множеству $A$. В терминах теории множеств это означает, что множество $B$ является подмножеством множества $A$. Это записывается как $B \subset A$.

Теперь, зная, что $B \subset A$, проанализируем предложенные равенства, используя общие правила операций над множествами:

• Пересечение множества и его подмножества равно самому подмножеству.
• Объединение множества и его подмножества равно самому множеству (надмножеству).

Применим эти правила к каждому варианту.

$A \cap B = B$

Пересечение ($A \cap B$) содержит элементы, которые являются общими для обоих множеств. Так как любое число, кратное 18 (элемент из $B$), также кратно 6 (элемент из $A$), то все элементы множества $B$ являются общими. Следовательно, пересечение этих множеств равно множеству $B$. Равенство верно.
Ответ: Верно.

$A \cup B = B$

Объединение ($A \cup B$) содержит все элементы из обоих множеств. Это равенство было бы верным, только если бы $A$ было подмножеством $B$ ($A \subset B$). Однако это неверно: например, число 6 входит в $A$, но не входит в $B$. Значит, объединение будет содержать больше элементов, чем просто множество $B$. Равенство неверно.
Ответ: Неверно.

$A \cap B = A$

Это равенство было бы верным, только если бы $A$ было подмножеством $B$ ($A \subset B$), то есть если бы все числа, кратные 6, были также кратны 18. Как мы уже установили, это не так. Следовательно, равенство неверно.
Ответ: Неверно.

$A \cup B = A$

Объединение ($A \cup B$) включает в себя все элементы из $A$ и все элементы из $B$. Поскольку все элементы $B$ уже содержатся в $A$ (так как $B \subset A$), то добавление элементов $B$ к $A$ не изменяет исходное множество $A$. Следовательно, их объединение равно $A$. Равенство верно.
Ответ: Верно.