Номер 11, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

34. Пересечение и объединение множеств. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 11, страница 66.

Условие.

11. Из 60 участников международной конференции каждый владеет английским или немецким языком, причём 45 человек владеют английским языком, а 36 человек — немецким. Найдите число участников конференции, владеющих английским и немецким языками.

Решение.

Общее число участников конференции, владеющих английским или немецким языком, равно ......... . Это число больше 60 за счёт того, что в него вошло число участников

Имеем:

......... . Значит, двумя языками — английским и немецким — владели ......... участников.

Проиллюстрируем ситуацию с помощью кругов Эйлера.

Решение.

Решение 2.

Решение.
Для решения этой задачи воспользуемся формулой включений-исключений. Пусть $A$ — множество участников, владеющих английским языком, и $B$ — множество участников, владеющих немецким языком.
По условию нам известно:
- Число участников, владеющих английским языком: $|A| = 45$.
- Число участников, владеющих немецким языком: $|B| = 36$.
- Общее число участников конференции, каждый из которых владеет английским или немецким языком: $|A \cup B| = 60$.

Нам нужно найти число участников, владеющих обоими языками, то есть мощность пересечения множеств $|A \cap B|$.
Формула включений-исключений для двух множеств выглядит так:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Из этой формулы мы можем выразить искомое значение:
$|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$

Теперь подставим данные из условия задачи в формулу:
$|A \cap B| = 45 + 36 - 60 = 81 - 60 = 21$

Таким образом, 21 участник конференции владеет и английским, и немецким языками.

Ответ: 21.

Проиллюстрируем ситуацию с помощью кругов Эйлера.
Изобразим два пересекающихся круга. Левый круг будет представлять множество участников, владеющих английским языком (A), а правый — немецким (Н).

1. Пересечение кругов ($A \cap H$): В этой области находятся участники, владеющие обоими языками. Как мы вычислили, их количество равно 21.
2. Часть круга A (только английский): Здесь находятся участники, которые владеют только английским языком. Их число равно разности общего числа англоговорящих и числа тех, кто владеет обоими языками: $45 - 21 = 24$.
3. Часть круга Н (только немецкий): Аналогично, здесь находятся участники, владеющие только немецким языком. Их число: $36 - 21 = 15$.

Чтобы убедиться в правильности расчетов, сложим количество участников из всех трёх областей: $24 (\text{только английский}) + 21 (\text{оба языка}) + 15 (\text{только немецкий}) = 60$. Сумма равна общему числу участников, что подтверждает верность решения.



Ответ: Диаграмма наглядно демонстрирует распределение участников по знанию языков: 24 владеют только английским, 15 — только немецким, и 21 — обоими языками.