Номер 5, страница 69, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

35. Числовые промежутки. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 69.

Условие.

5. Изобразите на координатной прямой промежутки и укажите их пересечение:

$[2; 6] \cap [-1; 5] = [2; 5].$

а) $(4; 1) \cap [0; 2] = $

б) $[-1; 1] \cap (-3; 3] = $

в) $(2; +\infty) \cap (1; +\infty) = $

г) $(-\infty; 2) \cap (1,5; +\infty) = $

Решение.

Решение 2.

а) $(4; 1) \cap [0; 2]$

Примечание: Стандартная запись числового промежутка предполагает, что левая граница меньше правой. Запись $(4; 1)$ некорректна. Будем считать, что это опечатка и имелся в виду интервал $(1; 4)$. Если же считать, что промежуток, у которого левая граница больше правой, является пустым множеством, то его пересечение с любым другим промежутком также будет пустым множеством.

Решим задачу для $(1; 4) \cap [0; 2]$.

Первый промежуток — это интервал $(1; 4)$. Он включает в себя все числа $x$, для которых выполняется строгое неравенство $1 < x < 4$. На координатной прямой этот промежуток изображается штриховкой между точками 1 и 4. Сами точки 1 и 4 (границы) не включаются в интервал, поэтому их отмечают выколотыми (пустыми) кружками.

Второй промежуток — это отрезок $[0; 2]$. Он включает в себя все числа $x$, для которых выполняется нестрогое неравенство $0 \le x \le 2$. На координатной прямой этот промежуток изображается штриховкой между точками 0 и 2. Границы 0 и 2 включаются в отрезок, поэтому их отмечают закрашенными (сплошными) точками.

Пересечение ($\cap$) двух промежутков — это их общая часть, то есть множество чисел, которые принадлежат каждому из этих промежутков. На координатной прямой это область, где штриховки обоих промежутков накладываются друг на друга.

Сравнивая промежутки $(1; 4)$ и $[0; 2]$, мы видим, что их общая часть находится между 1 и 2.

• Левая граница общей части — это 1. Число 1 не принадлежит первому промежутку $(1; 4)$, поэтому оно не может принадлежать и пересечению. Граница будет строгой.
• Правая граница общей части — это 2. Число 2 принадлежит второму промежутку $[0; 2]$ (включительно) и также принадлежит первому промежутку $(1; 4)$ (поскольку $1 < 2 < 4$), значит, оно принадлежит и пересечению. Граница будет нестрогой.

Следовательно, результатом пересечения является полуинтервал $(1; 2]$.

Ответ: $(1; 2]$.

---

б) $[-1; 1] \cap (-3; 3)$

Первый промежуток — это отрезок $[-1; 1]$. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-1 \le x \le 1$. На координатной прямой он изображается штриховкой между точками -1 и 1, включая сами точки (закрашенные кружки).

Второй промежуток — это интервал $(-3; 3)$. Он включает все числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-3 < x < 3$. На координатной прямой он изображается штриховкой между точками -3 и 3, не включая сами точки (выколотые кружки).

Пересечение этих двух промежутков — это множество чисел, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $-1 \le x \le 1$ и $-3 < x < 3$.

Любое число $x$, для которого верно $-1 \le x \le 1$, автоматически удовлетворяет и условию $-3 < x < 3$. Это означает, что первый промежуток полностью содержится внутри второго. На координатной прямой штриховка отрезка $[-1; 1]$ будет полностью покрыта штриховкой интервала $(-3; 3)$.

Таким образом, их общая часть совпадает с меньшим промежутком, то есть с отрезком $[-1; 1]$.

Ответ: $[-1; 1]$.

---

в) $(2; +\infty) \cap (1; +\infty)$

Первый промежуток — это открытый числовой луч $(2; +\infty)$. Он включает все числа $x$, для которых выполняется неравенство $x > 2$. На координатной прямой изображается штриховкой от точки 2 вправо до бесконечности; точка 2 выколота.

Второй промежуток — это открытый числовой луч $(1; +\infty)$. Он включает все числа $x$, для которых выполняется неравенство $x > 1$. На координатной прямой изображается штриховкой от точки 1 вправо до бесконечности; точка 1 выколота.

Пересечение — это множество чисел, которые одновременно больше 2 и больше 1. Если число больше 2, то оно автоматически больше 1. Следовательно, общее условие для чисел из пересечения — это $x > 2$.

На координатной прямой область пересечения штриховок начинается от точки 2 и уходит вправо к $+\infty$.

Таким образом, пересечением является промежуток $(2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

---

г) $(-\infty; 2) \cap (1.5; +\infty)$

Первый промежуток — это открытый числовой луч $(-\infty; 2)$. Он включает все числа $x$, для которых выполняется неравенство $x < 2$. На координатной прямой изображается штриховкой от точки 2 влево до минус бесконечности; точка 2 выколота.

Второй промежуток — это открытый числовой луч $(1.5; +\infty)$. Он включает все числа $x$, для которых выполняется неравенство $x > 1.5$. На координатной прямой изображается штриховкой от точки 1.5 вправо до плюс бесконечности; точка 1.5 выколота.

Пересечение — это множество чисел, которые одновременно меньше 2 и больше 1.5. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1.5 < x < 2$.

На координатной прямой общая область штриховки находится между точками 1.5 и 2. Обе граничные точки (1.5 и 2) не входят в свои промежутки, а значит, не входят и в пересечение.

Таким образом, пересечением является интервал $(1.5; 2)$.

Ответ: $(1.5; 2)$.