Номер 11, страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

35. Числовые промежутки. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 11, страница 70.

Условие.

11. Известно, что $A = (-6; 13)$; $B = [-8; 11]$. Укажите, если возможно, наибольший и наименьший элементы множеств $X$ и $Y$, если $X = A \cap B$, $Y = A \cup B$.

Решение.

Решение 2.

Даны множества $A = (-6; 13)$ и $B = [-8; 11]$. Круглые скобки означают, что концы интервала не включаются в множество (строгое неравенство), а квадратные скобки означают, что концы интервала включаются в множество (нестрогое неравенство). Таким образом: $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -6 < x < 13\}$ $B = \{x \in \mathbb{R} \mid -8 \le x \le 11\}$

$X = A \cap B$

Множество $X$ является пересечением множеств $A$ и $B$. Пересечение содержит только те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно. Чтобы найти пересечение $A \cap B$, необходимо найти значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям: $-6 < x < 13$ и $-8 \le x \le 11$. Совместив эти два неравенства, получим: $\max(-6, -8) < x \le \min(13, 11)$ $-6 < x \le 11$ Следовательно, множество $X$ представляет собой полуинтервал $X = (-6; 11]$.

Теперь найдем наименьший и наибольший элементы множества $X$.

Наибольший элемент: Правая граница интервала, число 11, включена в множество (поскольку скобка квадратная). Это означает, что 11 является элементом множества $X$ и для любого другого элемента $x \in X$ выполняется $x \le 11$. Следовательно, наибольший элемент множества $X$ существует и равен 11.

Наименьший элемент: Левая граница интервала, число -6, не включена в множество (поскольку скобка круглая). Это означает, что для любого элемента $x \in X$ справедливо строгое неравенство $x > -6$. Не существует такого элемента в множестве $X$, который был бы самым маленьким, так как для любого числа $x_0$ из этого множества всегда можно найти другое число, например, $(-6 + x_0)/2$, которое также будет принадлежать множеству $X$ и будет меньше $x_0$. Следовательно, наименьшего элемента в множестве $X$ не существует.

Ответ: Наибольший элемент множества $X$ равен 11; наименьший элемент не существует.

$Y = A \cup B$

Множество $Y$ является объединением множеств $A$ и $B$. Объединение содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Чтобы найти объединение $A \cup B$, нужно "сложить" интервалы. $A = (-6; 13)$ $B = [-8; 11]$ Объединение этих множеств будет включать все числа от наименьшей границы до наибольшей. Наименьшая граница равна -8 (из множества $B$, включается), а наибольшая равна 13 (из множества $A$, не включается). Таким образом, множество $Y$ представляет собой полуинтервал $Y = [-8; 13)$.

Теперь найдем наименьший и наибольший элементы множества $Y$.

Наибольший элемент: Правая граница интервала, число 13, не включена в множество (скобка круглая). Аналогично предыдущему случаю, для любого элемента $y \in Y$ можно найти другой элемент $y' \in Y$, такой что $y' > y$. Следовательно, наибольшего элемента в множестве $Y$ не существует.

Наименьший элемент: Левая граница интервала, число -8, включена в множество (скобка квадратная). Это означает, что -8 является элементом множества $Y$ и для любого другого элемента $y \in Y$ выполняется $y \ge -8$. Следовательно, наименьший элемент множества $Y$ существует и равен -8.

Ответ: Наименьший элемент множества $Y$ равен -8; наибольший элемент не существует.