Номер 7, страница 72, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

36. Решение неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 7, страница 72.

Условие.

7. При каких значениях p:

а) сумма дробей $ \frac{p-4}{6} $ и $ \frac{2p-1}{8} $ положительна;

б) разность дробей $ \frac{7p-1}{5} $ и $ \frac{12-p}{15} $ отрицательна?

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти значения $p$, при которых сумма дробей $\frac{p-4}{6}$ и $\frac{2p-1}{8}$ положительна, необходимо составить и решить неравенство. Сумма дробей должна быть больше нуля:
$\frac{p-4}{6} + \frac{2p-1}{8} > 0$
Для решения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 6 и 8 равно 24.
$\frac{4 \cdot (p-4)}{24} + \frac{3 \cdot (2p-1)}{24} > 0$
Запишем все под общим знаменателем:
$\frac{4(p-4) + 3(2p-1)}{24} > 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{4p - 16 + 6p - 3}{24} > 0$
$\frac{10p - 19}{24} > 0$
Так как знаменатель дроби (24) — положительное число, то знак дроби зависит только от знака числителя. Следовательно, числитель должен быть больше нуля:
$10p - 19 > 0$
$10p > 19$
$p > \frac{19}{10}$
$p > 1.9$
Ответ: $p > 1.9$

б) Чтобы найти значения $p$, при которых разность дробей $\frac{7p-1}{5}$ и $\frac{12-p}{15}$ отрицательна, составим и решим соответствующее неравенство. Разность дробей должна быть меньше нуля:
$\frac{7p-1}{5} - \frac{12-p}{15} < 0$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5 и 15 равно 15.
$\frac{3 \cdot (7p-1)}{15} - \frac{12-p}{15} < 0$
Запишем все под общим знаменателем:
$\frac{3(7p-1) - (12-p)}{15} < 0$
Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:
$\frac{21p - 3 - 12 + p}{15} < 0$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{22p - 15}{15} < 0$
Так как знаменатель (15) — положительное число, знак дроби определяется знаком числителя. Числитель должен быть меньше нуля:
$22p - 15 < 0$
$22p < 15$
$p < \frac{15}{22}$
Ответ: $p < \frac{15}{22}$