Номер 12, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

36. Решение неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 12, страница 74.

Условие.

12. Найдите область определения функции:

а) $y=\frac{\sqrt{12-6x}}{3x+1}$;

б) $y=\frac{15}{\sqrt{5-x}+2}$.

Решение.

Решение 2.

а) $y = \frac{\sqrt{12 - 6x}}{3x + 1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции необходимо, чтобы выполнялись два условия одновременно:

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня (подрадикальное выражение), должно быть неотрицательным, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не определено в множестве действительных чисел.
$12 - 6x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно.
$3x + 1 \ne 0$

Объединим эти условия в систему и решим её:

$\begin{cases} 12 - 6x \ge 0 \\ 3x + 1 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$12 - 6x \ge 0$
$-6x \ge -12$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-6) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-12}{-6}$
$x \le 2$

Решим второе условие:
$3x + 1 \ne 0$
$3x \ne -1$
$x \ne -\frac{1}{3}$

Таким образом, область определения функции включает все значения $x$, которые меньше или равны 2, за исключением точки $x = -\frac{1}{3}$. На числовой прямой это выглядит как луч, идущий от 2 влево, с выколотой точкой в $-\frac{1}{3}$. В виде интервалов это записывается как объединение двух промежутков.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}; 2]$.

---

б) $y = \frac{15}{\sqrt{5 - x} + 2}$

Для нахождения области определения этой функции также рассмотрим два условия:

1. Подрадикальное выражение должно быть неотрицательным:
$5 - x \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю:
$\sqrt{5 - x} + 2 \ne 0$

Решим первое неравенство:
$5 - x \ge 0$
$-x \ge -5$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x \le 5$

Теперь проанализируем второе условие:
$\sqrt{5 - x} + 2 \ne 0$
По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{5 - x}$ всегда принимает неотрицательные значения, то есть $\sqrt{5 - x} \ge 0$ для всех $x$, при которых он определен.
Следовательно, значение всего знаменателя $\sqrt{5 - x} + 2$ всегда будет больше или равно 2:
$\sqrt{5 - x} + 2 \ge 0 + 2 = 2$
Поскольку знаменатель всегда не меньше 2, он никогда не может быть равен нулю. Значит, второе условие выполняется для всех $x$, при которых выполняется первое условие.

Таким образом, единственным ограничением для области определения функции является первое условие $x \le 5$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 5]$.