Номер 3, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Решение систем неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 3, страница 77.

Условие.

3. Решите систему неравенств и укажите все целые значения переменной, которые являются её решением:

а) $ \begin{cases} 3x - 1 < 16, \\ 2 - 5x < 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 18 - 6x \geq 0, \\ 3 + 12x \geq 1; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 2 - 11x \leq 0, \\ 3x + 4 \leq 16. \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

а) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x - 1 < 16, \\ 2 - 5x < 0; \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$3x - 1 < 16$
Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:
$3x < 16 + 1$
$3x < 17$
Разделим обе части на 3:
$x < \frac{17}{3}$
$x < 5\frac{2}{3}$

Второе неравенство:
$2 - 5x < 0$
Перенесем $-5x$ в правую часть, изменив знак:
$2 < 5x$
Разделим обе части на 5:
$\frac{2}{5} < x$ или $x > 0.4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > \frac{2}{5}$ и $x < 5\frac{2}{3}$.
Общее решение системы: $\frac{2}{5} < x < 5\frac{2}{3}$. В виде интервала это записывается как $x \in (\frac{2}{5}; 5\frac{2}{3})$.

Найдем все целые значения переменной, которые являются решением системы. Это целые числа, находящиеся в интервале от $\frac{2}{5}$ (0.4) до $5\frac{2}{3}$ (приблизительно 5.67).
Такими целыми числами являются: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: Решение системы: $x \in (\frac{2}{5}; 5\frac{2}{3})$. Целые значения: 1, 2, 3, 4, 5.

---

б) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 18 - 6x \ge 0, \\ 3 + 12x \ge 1; \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$18 - 6x \ge 0$
Перенесем 18 в правую часть:
$-6x \ge -18$
Разделим обе части на -6 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \le \frac{-18}{-6}$
$x \le 3$

Второе неравенство:
$3 + 12x \ge 1$
Перенесем 3 в правую часть:
$12x \ge 1 - 3$
$12x \ge -2$
Разделим обе части на 12:
$x \ge -\frac{2}{12}$
$x \ge -\frac{1}{6}$

Найдем пересечение решений: $x \ge -\frac{1}{6}$ и $x \le 3$.
Общее решение системы: $-\frac{1}{6} \le x \le 3$. В виде интервала это записывается как $x \in [-\frac{1}{6}; 3]$.

Найдем все целые значения переменной, которые являются решением системы. Это целые числа, находящиеся в интервале от $-\frac{1}{6}$ (приблизительно -0.17) до 3 включительно.
Такими целыми числами являются: 0, 1, 2, 3.

Ответ: Решение системы: $x \in [-\frac{1}{6}; 3]$. Целые значения: 0, 1, 2, 3.

---

в) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 2 - 11x \le 0, \\ 3x + 4 \le 16. \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$2 - 11x \le 0$
Перенесем 2 в правую часть:
$-11x \le -2$
Разделим обе части на -11 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \ge \frac{-2}{-11}$
$x \ge \frac{2}{11}$

Второе неравенство:
$3x + 4 \le 16$
Перенесем 4 в правую часть:
$3x \le 16 - 4$
$3x \le 12$
Разделим обе части на 3:
$x \le \frac{12}{3}$
$x \le 4$

Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{2}{11}$ и $x \le 4$.
Общее решение системы: $\frac{2}{11} \le x \le 4$. В виде интервала это записывается как $x \in [\frac{2}{11}; 4]$.

Найдем все целые значения переменной, которые являются решением системы. Это целые числа, находящиеся в интервале от $\frac{2}{11}$ (приблизительно 0.18) до 4 включительно.
Такими целыми числами являются: 1, 2, 3, 4.

Ответ: Решение системы: $x \in [\frac{2}{11}; 4]$. Целые значения: 1, 2, 3, 4.