Номер 5, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Решение систем неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 77.

Условие.

5. При каких значениях p:

а) значение дроби $\frac{11-2p}{6}$ больше соответствующего значения дроби $\frac{6p-1}{12}$;

б) значение дроби $\frac{1.7-3p}{5}$ меньше соответствующего значения дроби $\frac{2-p}{15}$;

в) значение двучлена $12p - 1$ больше соответствующего значения дроби $\frac{2-p}{15}$;

г) значение дроби $\frac{11-2p}{4}$ меньше соответствующего значения двучлена $1 - p$?

Решение.

Решение 2.

а) Чтобы найти значения $p$, при которых значение дроби $\frac{11-2p}{6}$ больше значения дроби $\frac{6p-1}{12}$, необходимо решить следующее неравенство:

$\frac{11-2p}{6} > \frac{6p-1}{12}$

Для решения приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12. Умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 является положительным числом, знак неравенства сохранится.

$12 \cdot \frac{11-2p}{6} > 12 \cdot \frac{6p-1}{12}$

$2(11-2p) > 6p-1$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$22 - 4p > 6p - 1$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $p$ в одной части, а числовые значения — в другой:

$22 + 1 > 6p + 4p$

$23 > 10p$

Разделим обе части на 10, чтобы выразить $p$:

$\frac{23}{10} > p$

То есть, $p < 2.3$.

Ответ: $p \in (-\infty; 2.3)$.

б) Чтобы найти значения $p$, при которых значение дроби $\frac{1.7-3p}{5}$ меньше значения дроби $\frac{2-p}{15}$, составим и решим неравенство:

$\frac{1.7-3p}{5} < \frac{2-p}{15}$

Наименьший общий знаменатель дробей равен 15. Умножим обе части неравенства на 15:

$15 \cdot \frac{1.7-3p}{5} < 15 \cdot \frac{2-p}{15}$

$3(1.7-3p) < 2-p$

Раскроем скобки:

$5.1 - 9p < 2-p$

Сгруппируем слагаемые с $p$ и без $p$ по разным сторонам неравенства:

$5.1 - 2 < 9p - p$

$3.1 < 8p$

Разделим обе части на 8:

$\frac{3.1}{8} < p$

Для удобства можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $p > \frac{31}{80}$.

Ответ: $p \in (\frac{31}{80}; +\infty)$.

в) Чтобы найти значения $p$, при которых значение двучлена $12p-1$ больше значения дроби $\frac{2-p}{15}$, составим и решим неравенство:

$12p-1 > \frac{2-p}{15}$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 15:

$15(12p-1) > 2-p$

Раскроем скобки:

$180p - 15 > 2-p$

Перенесем все слагаемые с $p$ в левую часть, а числовые — в правую:

$180p + p > 2 + 15$

$181p > 17$

Разделим обе части на 181:

$p > \frac{17}{181}$

Ответ: $p \in (\frac{17}{181}; +\infty)$.

г) Чтобы найти значения $p$, при которых значение дроби $\frac{11-2p}{4}$ меньше значения двучлена $1-p$, составим и решим неравенство:

$\frac{11-2p}{4} < 1-p$

Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot \frac{11-2p}{4} < 4(1-p)$

$11 - 2p < 4(1-p)$

Раскроем скобки в правой части:

$11 - 2p < 4 - 4p$

Сгруппируем слагаемые с переменной $p$ в левой части, а числовые — в правой:

$4p - 2p < 4 - 11$

$2p < -7$

Разделим обе части на 2:

$p < -\frac{7}{2}$

То есть, $p < -3.5$.

Ответ: $p \in (-\infty; -3.5)$.