Номер 12, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Решение систем неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 12, страница 82.

Условие.

12. Найдите значения p, при которых не имеет решений система неравенств:

a) $\begin{cases} 2x + 4 > p - 2, \\ 3x - 5 < p; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 4 > p - 6, \\ 5x - 7 < p. \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

а)

Дана система неравенств:$$ \begin{cases} 2x + 4 > p - 2, \\ 3x - 5 < p. \end{cases} $$

Чтобы найти значения $p$, при которых система не имеет решений, сначала выразим $x$ из каждого неравенства.

Из первого неравенства получаем:$2x > p - 2 - 4$$2x > p - 6$$x > \frac{p-6}{2}$

Из второго неравенства получаем:$3x < p + 5$$x < \frac{p+5}{3}$

Таким образом, исходная система эквивалентна системе:$$ \begin{cases} x > \frac{p-6}{2} \\ x < \frac{p+5}{3} \end{cases} $$Это означает, что решение для $x$ должно лежать в интервале $(\frac{p-6}{2}; \frac{p+5}{3})$.

Система не имеет решений, если этот интервал пуст. Это происходит, когда левая граница интервала больше или равна правой границе:

$$ \frac{p-6}{2} \ge \frac{p+5}{3} $$

Решим это неравенство относительно $p$. Для этого умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:

$$ 6 \cdot \frac{p-6}{2} \ge 6 \cdot \frac{p+5}{3} $$$$ 3(p-6) \ge 2(p+5) $$$$ 3p - 18 \ge 2p + 10 $$

Перенесем слагаемые с $p$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$$ 3p - 2p \ge 10 + 18 $$$$ p \ge 28 $$

Следовательно, система не имеет решений при $p \ge 28$.

Ответ: $p \ge 28$.

б)

Дана система неравенств:$$ \begin{cases} 3x - 4 > p - 6, \\ 5x - 7 < p. \end{cases} $$

Аналогично пункту а), выразим $x$ из каждого неравенства.

Из первого неравенства:$3x > p - 6 + 4$$3x > p - 2$$x > \frac{p-2}{3}$

Из второго неравенства:$5x < p + 7$$x < \frac{p+7}{5}$

Получаем систему:$$ \begin{cases} x > \frac{p-2}{3} \\ x < \frac{p+7}{5} \end{cases} $$Решение для $x$ должно находиться в интервале $(\frac{p-2}{3}; \frac{p+7}{5})$.

Система не будет иметь решений, если данный интервал пуст, то есть если его левая граница больше или равна правой:

$$ \frac{p-2}{3} \ge \frac{p+7}{5} $$

Решим это неравенство. Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15:

$$ 15 \cdot \frac{p-2}{3} \ge 15 \cdot \frac{p+7}{5} $$$$ 5(p-2) \ge 3(p+7) $$$$ 5p - 10 \ge 3p + 21 $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ 5p - 3p \ge 21 + 10 $$$$ 2p \ge 31 $$$$ p \ge \frac{31}{2} $$$$ p \ge 15.5 $$

Следовательно, система не имеет решений при $p \ge 15.5$.

Ответ: $p \ge 15.5$.