Номер 14, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Решение систем неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 14, страница 83.

Условие.

14. Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее системе неравенств

$\begin{cases} \frac{5x - 4}{3} - \frac{x + 1}{2} < 0, \\ (4x - 1)^2 + 11 < (8x - 1)(2x + 1). \end{cases}$

Решение.

Решение 2.

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решение первого неравенства

Решим первое неравенство системы:

$\frac{5x-4}{3} - \frac{x+1}{2} < 0$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot (\frac{5x-4}{3} - \frac{x+1}{2}) < 6 \cdot 0$

$2(5x-4) - 3(x+1) < 0$

Раскроем скобки:

$10x - 8 - 3x - 3 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$7x - 11 < 0$

Перенесем 11 в правую часть:

$7x < 11$

Разделим обе части на 7:

$x < \frac{11}{7}$

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; \frac{11}{7})$.

Решение второго неравенства

Решим второе неравенство системы:

$(4x-1)^2 + 11 < (8x-1)(2x+1)$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в правой — правило умножения многочленов.

$(16x^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2) + 11 < 16x^2 + 8x - 2x - 1$

$(16x^2 - 8x + 1) + 11 < 16x^2 + 6x - 1$

Упростим выражение:

$16x^2 - 8x + 12 < 16x^2 + 6x - 1$

Члены с $16x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые члены — в левую, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными.

$12 + 1 < 6x + 8x$

$13 < 14x$

Разделим обе части на 14. Так как 14 > 0, знак неравенства не меняется.

$\frac{13}{14} < x$

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (\frac{13}{14}; +\infty)$.

Нахождение решения системы и наибольшего целого числа

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств:

$x < \frac{11}{7}$ и $x > \frac{13}{14}$

Запишем это в виде двойного неравенства:

$\frac{13}{14} < x < \frac{11}{7}$

Теперь нам нужно найти наибольшее целое число, которое удовлетворяет этому неравенству. Для этого сравним значения дробей. Приведем дробь $\frac{11}{7}$ к знаменателю 14:

$\frac{11}{7} = \frac{11 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{22}{14}$

Неравенство принимает вид:

$\frac{13}{14} < x < \frac{22}{14}$

Дробь $\frac{13}{14}$ меньше 1, а дробь $\frac{22}{14}$ больше 1 (так как $22 > 14$) и меньше 2 (так как $22 < 28$).

Единственное целое число, находящееся между $\frac{13}{14}$ (приблизительно 0.93) и $\frac{22}{14}$ (приблизительно 1.57), — это число 1.

Следовательно, 1 является наибольшим (и единственным) целым решением системы неравенств.

Ответ: 1