Номер 13, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Решение систем неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 13, страница 82.

Условие.

13. При каких значениях $a$ решение системы уравнений

$\begin{cases} 4x+y=a-2 \\ x-y=a+1 \end{cases}$

удовлетворяет условию $x > 0, y < 0$?

Решение. Выразим через $a$ значения $x$ и $y$. Получим

Учитывая, что $x > 0$ и $y < 0$, составим систему неравенств с переменной $a$ и решим её.

Решение.

Решение 2.

Решение. Выразим через а значения х и у. Получим

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 4x + y = a - 2 \\ x - y = a + 1 \end{cases} $$ Для нахождения переменной $x$ сложим первое и второе уравнения системы:
$(4x + y) + (x - y) = (a - 2) + (a + 1)$
$5x = 2a - 1$
$x = \frac{2a - 1}{5}$

Теперь выразим $y$ из второго уравнения системы: $y = x - (a + 1)$. Подставим в это выражение найденное значение $x$:
$y = \frac{2a - 1}{5} - (a + 1)$
Приведем к общему знаменателю:
$y = \frac{2a - 1}{5} - \frac{5(a + 1)}{5} = \frac{2a - 1 - 5a - 5}{5} = \frac{-3a - 6}{5}$
Итак, решение системы: $x = \frac{2a - 1}{5}$, $y = \frac{-3a - 6}{5}$.

Учитывая, что $x > 0$ и $y < 0$, составим систему неравенств с переменной а и решим её.

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в заданные условия $x > 0$ и $y < 0$. Получим систему неравенств относительно переменной $a$: $$ \begin{cases} \frac{2a - 1}{5} > 0 \\ \frac{-3a - 6}{5} < 0 \end{cases} $$ Решим каждое неравенство.
1) Решим первое неравенство:
$\frac{2a - 1}{5} > 0$
Умножим обе части на 5 (так как $5 > 0$, знак неравенства не меняется):
$2a - 1 > 0$
$2a > 1$
$a > \frac{1}{2}$

2) Решим второе неравенство:
$\frac{-3a - 6}{5} < 0$
Умножим обе части на 5:
$-3a - 6 < 0$
$-3a < 6$
Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$a > \frac{6}{-3}$
$a > -2$

Теперь найдем общее решение системы неравенств для $a$: $$ \begin{cases} a > \frac{1}{2} \\ a > -2 \end{cases} $$ Пересечением двух этих условий является более сильное неравенство $a > \frac{1}{2}$.
Таким образом, решение удовлетворяет заданным условиям при $a \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.
Ответ: $a > \frac{1}{2}$