Номер 8, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Решение систем неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 8, страница 80.

Условие.

8. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 0,6(2-x)-1,4x < 2,6x-8, \\ 1,5(x+2)+0,5x < 6x+4,6; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2,4(x+1)-1,9(x-4) < 3x+6, \\ 3,5(x-2)+1,5(2x-1) > x-8,5. \end{cases} $

Решение.

Решение 2.

a) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 0,6(2-x) - 1,4x < 2,6x - 8 \\ 1,5(x+2) + 0,5x < 6x + 4,6 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$0,6(2-x) - 1,4x < 2,6x - 8$

Раскроем скобки:

$1,2 - 0,6x - 1,4x < 2,6x - 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$1,2 - 2x < 2,6x - 8$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую, изменив их знаки на противоположные:

$1,2 + 8 < 2,6x + 2x$

$9,2 < 4,6x$

Разделим обе части неравенства на 4,6 (знак неравенства не меняется, так как 4,6 > 0):

$x > \frac{9,2}{4,6}$

$x > 2$

2. Решим второе неравенство:

$1,5(x+2) + 0,5x < 6x + 4,6$

Раскроем скобки:

$1,5x + 3 + 0,5x < 6x + 4,6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x + 3 < 6x + 4,6$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$3 - 4,6 < 6x - 2x$

$-1,6 < 4x$

Разделим обе части неравенства на 4:

$x > -\frac{1,6}{4}$

$x > -0,4$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x > 2$ и $x > -0,4$. Решением системы является пересечение этих двух множеств. На числовой прямой это будет интервал, удовлетворяющий обоим условиям одновременно, то есть $x > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$

б) Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2,4(x+1) - 1,9(x-4) < 3x + 6 \\ 3,5(x-2) + 1,5(2x-1) > x - 8,5 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство:

$2,4(x+1) - 1,9(x-4) < 3x + 6$

Раскроем скобки:

$2,4x + 2,4 - 1,9x + 7,6 < 3x + 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$0,5x + 10 < 3x + 6$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$10 - 6 < 3x - 0,5x$

$4 < 2,5x$

Разделим обе части неравенства на 2,5:

$x > \frac{4}{2,5}$

$x > \frac{40}{25}$

$x > \frac{8}{5}$

$x > 1,6$

2. Решим второе неравенство:

$3,5(x-2) + 1,5(2x-1) > x - 8,5$

Раскроем скобки:

$3,5x - 7 + 3x - 1,5 > x - 8,5$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$6,5x - 8,5 > x - 8,5$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6,5x - x > -8,5 + 8,5$

$5,5x > 0$

Разделим обе части на 5,5:

$x > 0$

3. Найдем пересечение решений.

Мы получили два условия: $x > 1,6$ и $x > 0$. Решением системы является пересечение этих двух множеств. На числовой прямой это будет интервал, удовлетворяющий обоим условиям одновременно, то есть $x > 1,6$.

Ответ: $(1,6; +\infty)$