Номер 4, страница 77, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

37. Решение систем неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 4, страница 77.

Условие.

4. Найдите область определения функции:

a) $y=\sqrt{x}+\sqrt{2-x}$;

б) $y=\sqrt{7-x}-\sqrt{4x-11}$.

Решение.

Решение 2.

а) $y = \sqrt{x} + \sqrt{2-x}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. В данном случае функция содержит два квадратных корня. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$2-x \ge 0$

$2 \ge x$, что эквивалентно $x \le 2$.

Теперь необходимо найти пересечение решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x \le 2 \end{cases}$

Общим решением системы является отрезок, на котором $x$ одновременно больше или равен 0 и меньше или равен 2. Таким образом, область определения функции:

$0 \le x \le 2$.

В виде интервала это записывается как $[0; 2]$.

Ответ: $D(y) = [0; 2]$.

б) $y = \sqrt{7 - x - \sqrt{4x - 11}}$

Данная функция содержит вложенные квадратные корни. Чтобы функция была определена, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

1. Начнем с внутреннего корня $\sqrt{4x-11}$. Условие его существования:

$4x - 11 \ge 0$

$4x \ge 11$

$x \ge \frac{11}{4}$

2. Теперь рассмотрим внешний корень $\sqrt{7 - x - \sqrt{4x - 11}}$. Условие его существования:

$7 - x - \sqrt{4x - 11} \ge 0$

Для решения этого иррационального неравенства изолируем корень:

$7 - x \ge \sqrt{4x - 11}$

Возводить в квадрат обе части такого неравенства можно только тогда, когда обе части неотрицательны. Правая часть ($\sqrt{4x-11}$) всегда неотрицательна по определению корня. Следовательно, для левой части также должно выполняться условие:

$7 - x \ge 0 \implies x \le 7$

При выполнении этого условия ($x \le 7$) можно возвести обе части неравенства $7 - x \ge \sqrt{4x - 11}$ в квадрат:

$(7 - x)^2 \ge (\sqrt{4x - 11})^2$

$49 - 14x + x^2 \ge 4x - 11$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 14x - 4x + 49 + 11 \ge 0$

$x^2 - 18x + 60 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 18x + 60 = 0$ через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 324 - 240 = 84$

$\sqrt{D} = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm 2\sqrt{21}}{2} = 9 \pm \sqrt{21}$.

Поскольку график функции $f(x) = x^2 - 18x + 60$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями:

$x \le 9 - \sqrt{21}$ или $x \ge 9 + \sqrt{21}$.

Теперь необходимо найти пересечение всех трех полученных условий:

$\begin{cases} x \ge \frac{11}{4} \\ x \le 7 \\ x \in (-\infty; 9 - \sqrt{21}] \cup [9 + \sqrt{21}; +\infty) \end{cases}$

Оценим числовые значения. $\frac{11}{4} = 2.75$. Поскольку $4 < \sqrt{21} < 5$, то $9 - 5 < 9 - \sqrt{21} < 9 - 4$, то есть $4 < 9 - \sqrt{21} < 5$. Аналогично, $13 < 9 + \sqrt{21} < 14$.

Первые два неравенства задают отрезок $[\frac{11}{4}; 7]$. Найдем пересечение этого отрезка с множеством решений третьего неравенства.

Поскольку $9 + \sqrt{21} > 13$, а верхняя граница отрезка равна 7, пересечение с лучом $[9 + \sqrt{21}; +\infty)$ пустое.

Остается найти пересечение отрезка $[\frac{11}{4}; 7]$ с лучом $(-\infty; 9 - \sqrt{21}]$. Так как $\frac{11}{4} \approx 2.75$ и $9 - \sqrt{21} \approx 4.42$, оба числа лежат внутри отрезка $[0; 7]$. Пересечением будет отрезок $[\frac{11}{4}; 9 - \sqrt{21}]$.

Это и есть искомая область определения функции.

Ответ: $D(y) = [\frac{11}{4}; 9 - \sqrt{21}]$.