Номер 13, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

36. Решение неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 13, страница 75.

Условие.

13. При каких значениях $a$:

а) множеством решений неравенства $5x - 1 < a$ является числовой промежуток $(-\infty; 6)$;

б) множеством решений неравенства $9x < 0,2a + x$ является числовой промежуток $(-\infty; 8]$?

Решение.

Решение 2.

а)

Для того чтобы найти, при каком значении $a$ множеством решений неравенства $5x - 1 < a$ является числовой промежуток $(-\infty; 6)$, необходимо сначала решить данное неравенство относительно переменной $x$.

Исходное неравенство:

$5x - 1 < a$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$5x < a + 1$

Разделим обе части на 5. Поскольку 5 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$x < \frac{a + 1}{5}$

Таким образом, множество решений данного неравенства представляет собой промежуток $(-\infty; \frac{a + 1}{5})$.

По условию, это множество должно совпадать с промежутком $(-\infty; 6)$. Два таких промежутка равны тогда и только тогда, когда равны их правые границы. Следовательно, мы можем составить уравнение:

$\frac{a + 1}{5} = 6$

Решим это уравнение, чтобы найти $a$:

$a + 1 = 6 \cdot 5$

$a + 1 = 30$

$a = 30 - 1$

$a = 29$

Ответ: $a = 29$.

б)

Рассмотрим неравенство $9x < 0,2a + x$ и условие, что множеством его решений является числовой промежуток $(-\infty; 8]$.

Сначала решим неравенство относительно $x$. Перенесем слагаемое $x$ из правой части в левую:

$9x - x < 0,2a$

Выполним вычитание в левой части:

$8x < 0,2a$

Разделим обе части на 8:

$x < \frac{0,2a}{8}$

Упростим выражение в правой части:

$x < \frac{a}{40}$

Множеством решений этого неравенства является открытый числовой промежуток $(-\infty; \frac{a}{40})$, так как неравенство строгое.

По условию задачи, множество решений должно быть $(-\infty; 8]$. Этот промежуток является полузамкнутым, поскольку он включает свою правую границу (что обозначено квадратной скобкой).

Возникает противоречие: множество решений, полученное из неравенства, является открытым интервалом и не включает конечную точку, в то время как требуемое множество включает свою конечную точку. Следовательно, эти два множества не могут быть равны ни при каком значении $a$.

Наиболее вероятно, что в условии задачи допущена опечатка. Есть два возможных варианта исправления, которые приводят к одному и тому же результату:

1. Исходное неравенство должно было быть нестрогим: $9x \le 0,2a + x$. Тогда его решением было бы $x \le \frac{a}{40}$, что соответствует промежутку $(-\infty; \frac{a}{40}]$. В этом случае мы бы приравняли границы: $\frac{a}{40} = 8$.
2. Требуемый промежуток должен был быть открытым: $(-\infty; 8)$. В этом случае мы бы также приравняли границы: $\frac{a}{40} = 8$.

В обоих случаях мы решаем одно и то же уравнение для нахождения $a$:

$\frac{a}{40} = 8$

Умножим обе части на 40:

$a = 8 \cdot 40$

$a = 320$

Принимая во внимание вероятную опечатку в условии, мы приходим к единственному возможному числовому ответу.

Ответ: $a = 320$.