Номер 11, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

36. Решение неравенств с одной переменной. Глава 4. Неравенства. Часть 2 - номер 11, страница 74.

Условие.

11. Найдите множество значений p, при которых уравнение $(2p - 3)x^2 - 7x + 1 = 0$ не имеет корней.

Решение.

Решение 2.

Данное уравнение $(2p - 3)x^2 - 7x + 1 = 0$ является уравнением с параметром $p$. Чтобы найти значения $p$, при которых уравнение не имеет корней, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1. Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю:
$2p - 3 \ne 0$
$2p \ne 3$
$p \ne \frac{3}{2}$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).
В нашем уравнении коэффициенты равны: $a = 2p - 3$, $b = -7$, $c = 1$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot (2p - 3) \cdot 1 = 49 - 4(2p - 3) = 49 - 8p + 12 = 61 - 8p$.

Теперь решим неравенство $D < 0$:
$61 - 8p < 0$
$61 < 8p$
$p > \frac{61}{8}$

Значения $p > \frac{61}{8}$ удовлетворяют условию $p \ne \frac{3}{2}$, так как $\frac{61}{8} = 7.625$, а $\frac{3}{2} = 1.5$.
Следовательно, при $p \in (\frac{61}{8}, +\infty)$ уравнение является квадратным и не имеет корней.

Случай 2. Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю:
$2p - 3 = 0$
$p = \frac{3}{2}$

Подставим это значение $p$ в исходное уравнение:
$(2 \cdot \frac{3}{2} - 3)x^2 - 7x + 1 = 0$
$(3 - 3)x^2 - 7x + 1 = 0$
$0 \cdot x^2 - 7x + 1 = 0$
$-7x + 1 = 0$

Это линейное уравнение имеет один корень:
$-7x = -1$
$x = \frac{1}{7}$

Поскольку при $p = \frac{3}{2}$ уравнение имеет один корень, это значение не входит в искомое множество.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходное уравнение не имеет корней только при выполнении условия из первого случая.

Ответ: $p \in (\frac{61}{8}; +\infty)$.